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当前位置:首页 > 临时分类 > 1.1复数以及复平面曲线
机动目录上页下页返回结束复变函数与积分变换任课教师:滕岩梅Email:tengyanmei@sohu.com机动目录上页下页返回结束三种情况:1.已学习复变函数与积分变换。3.没有学习过积分变换,将来使用。2.正在学习复变函数与积分变换。机动目录上页下页返回结束课程特点:1.注意复变与微积分不同之处。4.积分变换公式多,计算量大。3.形式上一元函数,实质二元。2.复---实---复。5.类型问题。复变函数积分变换总结:应用广泛。学好本门课程并不容易。4.基本公式,定理掌握。机动目录上页下页返回结束考试方面:平时40%期末:闭卷,填空、选择、计算60%机动目录上页下页返回结束第一章复数一、复数的概念及代数运算二、复数的几何表示三、复数的积与商四、幂与根五、曲线与区域六、小结机动目录上页下页返回结束一、复数的概念及代数运算z=x+iy虚部实部虚数单位复数:或z=x+yi.).Im(),Re(zyzx记作实部和虚部分别1.复数的概念机动目录上页下页返回结束实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,zz共轭的复数记为与.,iyxziyxz则若两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.机动目录上页下页返回结束2.复数的代数运算,,222111iyxziyxz设两复数1.两复数的和(差):).()(212121yyixxzz2.两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz3.两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz机动目录上页下页返回结束共轭复数的性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz);()Im()Re()3(22实数zzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz以上各式证明略.机动目录上页下页返回结束例1解,131iiiz设.)Im(),Re(zzzz与求iiiz131)1)(1()1(3iiiiiii,2123i,21)Im(,23)Re(zz22)Im()Re(zzzz222123.25机动目录上页下页返回结束二、复数的几何表示r1.复平面的定义),(yxPxyxyoiyxz2.复数的模(或绝对值).22yxrz记为,zx,zy,yxz.22zzzz机动目录上页下页返回结束3.复数的辐角.Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在),(yxPxyoiyxz说明.0有无穷多个辐角任何一个复数z).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地辐角不确定.机动目录上页下页返回结束辐角主值的定义:.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在,0x)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzarg,0)(,0yx,0)(,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,π)(arctanxy,π机动目录上页下页返回结束4.复数和差的模的性质;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo1z2z机动目录上页下页返回结束利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez复数的指数表示式5.复数的三角表示和指数表示机动目录上页下页返回结束例2将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;31)1(iziz解zr)1(,231,在第三象限因为zπ13arctan所以,32故三角表示式为,32sin32cos2iz机动目录上页下页返回结束指数表示式为.232iez5cos5sin)2(iz,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin故三角表示式为,103sin103cosiz指数表示式为.103iez机动目录上页下页返回结束三、乘积与商命题1两复数相乘就是把模相乘,辐角相加.)]sin()[cos(21212121irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121ierrzz则,222ierz机动目录上页下页返回结束,2倍再把它的模扩大到r从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21zz,21旋转一个角按逆时针方向先把z.21zzz就表示积所得向量2oxyr2r1r2z11zz机动目录上页下页返回结束命题2商的模等于模的商;商的辐角等于辐角之差.,1212zzzz.ArgArgArg1212zzzz的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(121212ierrzz则,222ierz机动目录上页下页返回结束例3解,3cos3sin),31(2121iziz已知,3sin3cos1iz因为,6sin6cos2iz63sin63cos21izz所以,i63sin63cos21izz.2123i.2121zzzz和求机动目录上页下页返回结束练习将复数5)11)(12(iiiiz化为三角形式.解iii112iii5)11(.1iz则三角形式为)).43sin()43(cos(2iz机动目录上页下页返回结束四、幂与根1.n次幂:,,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos,ninrznnn有对于任何正整数.,,1上式仍成立为负整数时那么当如果我们定义nzznn机动目录上页下页返回结束,sincos,1izrz即的模当.sincos)sin(cosninin棣莫佛公式.,.3为已知复数其中的根方程zwzwnnkinkrzwnnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk2.棣莫佛公式机动目录上页下页返回结束,1,,2,1,0时当nk:个相异的根得到n,sincos10ninrwn,π2sinπ2cos11ninrwn,.π)1(2sinπ)1(2cos11nninnrwnn当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.机动目录上页下页返回结束从几何上看,,个值就是以原点为中心的nzn.1个顶点边形的为半径的圆的内接正nnrn机动目录上页下页返回结束例3.164的值计算解42sin42cos2164kik).3,2,1,0(k,224sin4cos20iiw即,2243sin43cos21iiw,sincos1616i机动目录上页下页返回结束,2245sin45cos22iiw.2247sin47cos23iiw.2圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w机动目录上页下页返回结束练习将复数5)11)(12(iiiiz化为三角形式,并求.,36zz)),43sin()43(cos(2iz解因为所以))643sin()643(cos()2(66iz.8i]3243sin)3243[cos()2(3/13kikzk=0,1,2机动目录上页下页返回结束五、复平面上的曲线与区域3z2z区域0z邻域P边界点边界1.区域外点机动目录上页下页返回结束区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集;(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.有界区域和无界区域:.,,0,否则称为无界的称为有界的那末的每一个点都满足对于区域如果存在DMzDM机动目录上页下页返回结束边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P的任意小的邻域内总有D中的点,也有不属于D的点,这样的点P我们称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.说明区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.z1C2C3Cz1C2C3C机动目录上页下页返回结束(1)圆环域:;201rzzr0z2r1r课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:;0Imz(3)角形域:;βargαz(4)带形域:.Imbza答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.xyo机动目录上页下页返回结束例4.222111表示线用复数形式的方程来的直与将通过两点iyxziyxz解),(),(2211的直线的方程与通过两点yxyx)()(121121yytyyxxtxx),,(t参数所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz),,(t参数平面上曲线可用复数形式的方程或不等式表示,反之亦然.机动目录上页下页返回结束,21的直线段的参数方程为到由故zz10)(121tzztzz,21t若取21的中点坐标为得线段zz.221zzz机动目录上页下页返回结束2、单连通域与多连通域连续曲线:,)()(是两个连续的实变函数和如果tytx由复数方程:)()()()(btatiytxtzz那么所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线.机动目录上页下页返回结束光滑曲线:.0,])([])([,,)()(,22称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于都是连续的和上如果在tytxttytxbta由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.xyoxyo机动目录上页下页返回结束简单曲线:.)()(,)()(:的起点和终点分别称为与为一条连续曲线设CbzazbtatzzC.)(,)()(,,121212121的重点称为曲线点时而有当与的对于满足Ctztztzttttbtabta没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).机动目录上页下页返回结束.,)()(,为简单闭曲线那末称即的起点和终点重合如果简单曲线CbzazC换句话说,简单曲线自身不相交.机动目录上页下页返回结束单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域机动目录上页下页返回结束例6解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,3Im)1(z是一条平行于实轴的直线,-3-2-1123x123456y不是区域.,2Re)2(z),2Re(2Rezz不包括直线为界的左半平面以单连通域.机动目录上页下页返回结束1)Re()3(2z,时当iyxz,)Re(222yxz,11)Re(222yxz无界的单连通域(如图).机动目录上页下页返回结束练习满足下列条件
本文标题:1.1复数以及复平面曲线
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