完全平方数概念

完全平方数概念、性质和习题（一）1.定义：在整数中，如果a=b2，则称a为完全平方数。例如：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361等等.2.性质：完全平方数的性质是平方数的核心环节，也是常考知识点。1)完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2)在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3)完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4)若质数p满足p|a2，那么p|a3.完全平方数一些重要的推论1)任何偶数的平方一定能被4整除，能被8除的余数只有两种可能：0或4；任何奇数的平方被4（或8）除余1。那么被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2)一个完全平方数被3除的余数是0或1。那么被3除余2的数一定不是完全平方数。3)自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4)完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5)完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6)完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。4.平方数有关公式：a2－b2=（a＋b）（a－b）（a±b）2=a2±2ab＋b212＋22＋32＋…＋n2=n（n＋1）（2n＋1）÷61、在不大于300的自然数中去掉所有的完全平方数，剩下的自然数的和是多少？2、如果两个平方数的差是23，求这两个平方数。3、N是一个数字，如果1×2×3×…×n＋3是一个整数的平方，n等于多少？4、19998、1991、17689、1882这四个数中只有一个数是平方数，请找出来。5、不论a、b取怎样的整数，15a＋35b＋3有可能是平方数吗？为什么？6、画一个正方形，假如它的边长是1个长度单位，面积是1个面积单位，我们称他为基本正方形。在它的右边和上面再围上去3个基本正方形，将得到一个怎样的图形，面积是多少？在这个图形的右边和上面围上去5个基本正方形，又将得到一个怎样的图形？面积是多少？仿照这样的操作方法再操作几次，从中可以得到一个怎样的规律？可以通过其他途径得到这个规律吗？