概率论与数理统计第一章答案

1习题一1.用三个事件,,ABC的运算表示下列事件：（1）,,ABC中至少有一个发生；（2）,,ABC中只有A发生；（3）,,ABC中恰好有两个发生；4）,,ABC中至少有两个发生；（5）,,ABC中至少有一个不发生；（6）,,ABC中不多于一个发生.解：（1）ABC（2）ABC(3)ABCABCCAB(4)ABBCCA(5)ABC(6)ABBCCA2.在区间[0,2]上任取一数x，记1{|1},2Axx13{|}42Bxx，求下列事件的表达式：（1）AB；（2）AB；(3)AB.解：（1）{|1412132}xxx或（2）（3）{|014121xxx或或32}2x3.已知()0.4,()0.2,()0.1PAPBAPCAB，求()PABC.解：0.2()()PAPAB,0.1()(())()()()()()()PCABPCABPCPCACBPCPCAPCBPABC()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPCAPABC0.40.20.10.74.已知()0.4,()0.25,()0.25PAPBPAB，求()PBA与()PAB.解：()()()0.25PABPAPAB,()0.15PAB,2()()()0.250.150.1PBAPBPAB,()()1()()()PABPABPAPBPAB10.40.250.150.55.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,AAACEHIIMMNTT的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率.解：232224813!13!p6.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.解：1254535099392CCpC7.某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.解：1212312p:8.在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.解：设iA表示第i次取到次品，1,2,3i，12395945()0.0461009998PAAA9.两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.解：1112122214p10.两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.解：22246371()1()24416p11.任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于29，且它们和不大于1的概率.解：29xy，1xy，所以13x，23x23131212ln23939pdxx312.设(),(),PAaPBb证明：1(|)abPABb.证明：()()()()()()()PABPAPBPABPABPBPB()()11()PAPBabPBb13.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来，迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是0.3；若坐汽车来，迟到的概率是0.1；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.解：0.30.250.20.30.10.10.14514.设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1）42105p（2）64410915p（3）4321109830p15.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＊”和“”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“＊”时，收报台未必收到信号“＊”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“＊”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“”和“＊”.求：（1）收报台收到信号“＊”的概率；（2）当收到信号“＊”时，发报台确实是发出信号“＊”的概率.解：（1）0.60.80.40.10.52（2）0.48120.521316.设,AB相互独立，()0.6,()0.4PABPB，求()PA.解：()0.6()()()0.4()()PABPAPBPABPAPAB0.2()0.4()PAPA,1()3PA17.两两独立的三事件,,ABC满足,ABC并且1()()()2PAPBPC.4若9()16PABC，求()PA.解：293()3()16PAPA,216()16()30PAPA21()(,()34PAPA舍）18、证明：（1）若(|)()PABPA，则(|)()PBAPB.（2）若(|)(|)PABPAB，则事件A与B相互独立.证明：（1）()()()PABPAPB,()()()PABPAPB()()()()()()()PABPAPBPBAPBPAPA(2)()()PABPAB,()()()1()PABPABPBPB()()()PABPAPB19.甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7.又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1.若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.解：（1）0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.70.20.360.60.410.140.458（2）0.60.410.540.45820.三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.解：0.250.350.40.250.650.60.750.350.60.750.650.40.250.350.60.250.650.40.750.350.40.0350.09750.15750.1950.05250.0650.1050.7075521.在试验E中，事件A发生的概率为()PAp，将试验E独立重复进行三次，若在三次试验中“A至少出现一次的概率为1927”，求p.解：00333191(1)1(1)27Cppp，13p22.已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率.解：31230.20.80.20.0830.80.040.104C23.设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，，第二次取出的零件也是一等品的概率.解：（1）1011810.4502302(2)5110911817519117[][]22504923029454952919512612499()0.485644929568421.箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取1(1)kk次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.解：(1)(2)()()(1)()kk22.一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率：（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开.解：（1）42242666199()()101010CC（2）61010!P(3)610110!P23.将线段(0,)a任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.解：(,)0,0,0xyxayaxya，(,)0,0,222aaaAxyxyxya，6211222142aapa24.设平面区域D由四点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)围成的正方形，现向D内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线2yx和直线yx所围成的区域1D的概率.解：1201()6pxxdx，001019101015151()()()()6666CC91091051055151()()166662929687510.526046617625.设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（1）1317152931031532590（2）1371781520202031093151432524302961611903026.(Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有N根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有k根火柴的概率是多少.、解：222211112()(1)()2222NkNNNkNNNkNkpCC