3-第3讲--连续性方程

第1节连续性方程一个简单的问题：如果有一根等径的长管道，油（不可压缩）在管道中流动，考虑到油与管壁的摩擦损耗，油沿管道长度方向的流速是不是越流越慢呢？对于这个问题，很多同学会说，那是肯定的！那么如果在入口端单位时间内流入100公斤油，由于出口端流速慢，可能在单位时间内只流出了70公斤油，那30公斤油到哪里去了呢？应该是流出的与流入的相等才合理，这就是质量守恒的问题，反映到流体力学，就是连续性方程，即流体流动必须满足质量守恒定律。在流场中，任取一个封闭的固定区域，这部分区域称为控制体cV，区域的外表面称为控制面。流体流动通过这一区域时，有一部分表面是流入的，记为1A，另一部分表面是流出的，记为2A，控制面21AAAc，如图3-8所示。单位时间内流入控制体的质量流量为11AAdVM，这里的负号是考虑到微元面积的方向以外法线为正方向。单位时间内流出控制体的质量流量为22AAdVM单位时间内控制体内部流体质量的增量为cVcdVtM根据质量守恒定律，流入的质量减去流出的质量，应该等于内部流体质量的增量，即MMM2121AAVcAdVAdVdVtc由于21AAAc，得到积分形式的连续性方程0ccAVcAdVdVt（3-15）对于积分形式的连续性方程的应用，可以设想有一根管道，流体在由入口断面1A、出口断面2A和管壁（三者构成控制面）围成的流域（控制体）内流动，如图3-9所示。1A2AVAdAdVcVcA图3-8连续性方程用图假设流体是不可压缩的均质流体，意味着流域内的质量不变，且密度为常数，则0cVcdVtM。又因沿管壁没有流体的流入与流出，由（3-15）式，有0022112121AuAuAduAduAdVAAAc得到不可压缩流体流动总流所必须满足的连续性方程2211AuAu（3-16）由于假设入流断面和出流断面的速度都为匀速（断面平均速度），故这也是一元流动的连续性方程，表明总流沿任意过流断面的流量是相等的。注1：如果流体是可压缩的，假设为定常流动，应满足流入的流体质量等于流出的流体质量，则（3-16）式应为222111AuAu（3-17）注2：如果是不可压缩的定常流动，但总流出入两断面之间有流量的流入与流出，如图3-10所示，则总流的连续性方程为：231QQQ（3-18）式中3Q前的符号，流入为正，流出为负。第2节流体流动微分形式的连续性方程连续性方程的物理意义是质量守恒定律，在第3章，我们已经根据这一定律导出了连续性方程的积分形式，现在我们推导其微分形式。微分形式的连续性方程可采用微元分析法得到，也可由积分形式的连续性方程（3-15）式导得。下面我们从积分形式的连续性方程进行出流断面入流断面壁面Ad壁面Ad壁面1u壁面V壁面2u壁面图3-9一元流动连续性方程图3-10入口与出口间有流入或流出推导。在积分形式的连续性方程0ccAVcAdVdVt中，由于控制体是任意选定的，方程中第一项可写成ccVcVcdVtdVt由于dxdykdxdzjdydziAdkwjviuV以及高斯公式，方程中第二项可写成cccVcAAdVzwyvxuwdxdyvdxdzudydzAdV)()(式中控制体cV就是由控制面cA所围成的区域。这样，积分形式的连续性方程可写成0)(cccVcAVcdVzwyvxutAdVdVt由于控制体cV是任意选定的，上式积分为零，则被积函数必为零，得到0zwyvxut（6-1）这就是微分形式的连续性方程。由于zwzwzwyvyvyvxuxuxu根据全导数的定义，（6-1）式可变形为0)(zwyvxuzwyvxut0)(zwyvxudtd（6-2）注1：微分形式的连续性方程有多种形式，分别适用于不同的情况（1）可压缩流体的定常流动此时，由于0t，（6-1）式可简化为0zwyvxu（6-3）（2）均质的不可压缩流体的定常或非定常流动此时整个流场的流体密度为常数，则有0zwyvxu（6-4）不可压缩流体连续性方程（6-4）的矢量形式为0V（6-5）注2：连续性方程可用来判断流场的存在性对任意给出一个速度分布矢量场，例如kzjyixV，那么这个矢量能否是一个均质不可压缩流体的流动呢？如果是，则必须满足连续性方程，将其带入（6-4）式，得到03zwyvxu显然不满足连续性方程，故不存在这样的流动。第3节流体微团运动分解定理流体微团在运动过程中不断受到外部压力和剪切力的作用，在这些力的作用下不断的进行着移动、转动和变形运动。流体微团的运动是一个连续的复杂的运动过程，为此我们将微团运动的过程进行分析和分类，这就是流体微团运动的分解。在流场中任取一个流体微团如图6-1所示。在微团中任选一个点A，位于),,(zyx，再任取另外一个点B，位于),,(dzzdyydxx，下面以A为基点，分析B点相对于基点A的运动过程。设A点处的三个速度分量为A••B(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)图6-1流体微团速度的分解),,(),,,(),,,(zyxwzyxvzyxu在B点处的三个速度分量为),,(),,,(),,,(dzzdyydxxwdzzdyydxxvdzzdyydxxu则由泰勒定理，有dzzwdyywdxxwzyxwdzzdyydxxwdzzvdyyvdxxvzyxvdzzdyydxxvdzzudyyudxxuzyxudzzdyydxxu),,(),,(),,(),,(),,(),,(上式用矩阵形式表达，可写成dzdydxzwywxwzvyvxvzuyuxuwvuwvuAAABBB（6-6）上式右边第一项表示B点与A点一起做平行运动，即若右边第二项为0，则ABuu，ABvv，ABww对于右边第二项，我们进行如下的分析。由代数学知识可知，一个矩阵可以唯一的分解为一个对称阵和一个反称阵之和，则有000yzxzyzxyxzxyzyzxzyzyxyxzxyxeeeeeezwywxwzvyvxvzuyuxu对上式进行求解，得到zwyvxuzyx000解得zwyvxuzyxxveyuexyxyxyxy解得)(21)(21yuxvxvyuexyxyzuexwexzxzxzxz解得)(21)(21xwzuxwzuexzxzywezveyzyzyzyz解得)(21)(21zvywywzveyzyz最后得到zwyvxuzyx)(21)(21)(21ywzvexwzuexvyueyzxzxy)(21)(21)(21zvywxwzuyuxvyzxzxy（6-7）下面分析（6-7）式中各项的物理意义。（1）x代表沿x方向的拉伸变形设在t时刻A点的速度分量为u，相距dx位置的B点速度分量为dxxuu，经过dt时间后，B点相对于A点的运动如图6-2所示。明显看出，经过dt时间后，沿x轴方向B点比A点多移动了dxdtxu的距离，这相当于AB线拉伸的伸长量。故单位长度单位时间的伸长率为xux，因此x代表沿x方向的拉伸变形速率。同理，y和z分别代表沿y和z方向的拉伸变形速率。A••••ABBtt+dtdxudxxuudxdtxu图6-2线变形速率下面讨论平面的运动情况，在流体微团中任取一个平行四边形ABCD如图6-3所示，经过dt时间后变形为AB’C’D’。图6-3中A点的速度分量为u和v，在D点的速度分量为dxxvvzydxxvdxxuuzydxxu),,(),,(经过dt时刻，D点移动到D’点，相对于基点A沿y轴方向的位移量为dxdtxv在B点的速度分量为dyyvvzdyyxvdyyuuzdyyxu),,(),,(经过dt时刻，B点移动到B’点，相对于基点A沿x轴方向的位移量为dydtyu则有dtyudydydtyutgdtxvdxdxdtxvtg（6-8）（2）xye代表在xy平面内的剪切变形速率Adxuvu(x+dx,y,z)v(x+dx,y,z)dydxdtxvdydtyuu(x,y+dy,z)v(x,y+dy,z)αβBCDD’B’C’xy图6-3角变形速率与转动AB’C’D’相对于ABCD来说，AB与AD之间的夹角减小了（），由（6-8）式，有dtyuxv)(所以)(21yuxvexy相当于AB和AD之间夹角的平均改变率，称为xy平面的剪切变形速率。同理，有)(21)(21ywzvexwzueyzxz分别表示xz、yz平面的剪切变形速率。（3）xy代表xy平面内的旋转速率设想，若ABCD进行了剪切变形后，其位置与AB’C’D’还会相差一个角度，这个角度就是)(21，即还需旋转)(21角度，才是最后的状态。注：旋转以逆时针为正方向，符合右手法则。根据（6-8）式，由于dtyuxv)(21)(21这相当于整体沿逆时针方向旋转的角度。故)(21yuxvxy代表微团在xy平面内的旋转速率。同理，有xyzyxzzxyzvywxwzuyuxv222222（6-9）上面三个式子又可以写成行列式的形式为Vwvuzyxkji2(6-10)综上所述，流体微团的运动可分解为三部分，一是与某个基点一起做相同运动的平动，二是相对此基点的拉伸或剪切变形运动，三是绕此基点的旋转运动，这就是流体微团速度分解定理，也称为柯西-亥姆霍茨定理。讨论1：按照流体微团速度分解定理，流体的流动又可分为有旋流动和无旋流动，即，若（6-10）式为零，则流动为无旋流动，否则就是有旋流动。例6-1若有速度场kcjbyiaxV表示一个不可压缩流体的无旋流动，则a，b，c应满足什么关系式。解：由（6-10）式，有02cbyaxzyxkji即此流场是无旋的，但若此流场代表一个不可压缩流场，还应满足连续性方程，即有0bazwyvxu故a，b，c应满足的关系式为0ba讨论2：流动的有旋与无旋与质点的轨迹无关。例6-2两个相距为h的平板之间充满的粘性液体如图6-4所示。现设下板不动，上板以速度V沿水平方向运动，设任意截面上的速度分布为线性分布，试确定两平板间的流体是否有旋。解：根据速度的线性分布假设，任意截面上的速度分布为Vhyu则根据（6-9）式，有u