基于改进响应面的桥梁抗弯刚度修正

基于改进响应面的桥梁抗弯刚度修正代汉超，石雪飞，阮欣（同济大学桥梁工程系,上海市，200092）摘要：根据响应面法(RSM)的应用条件，从工程应用角度研究响应面法改进方法及桥梁抗弯刚度修正中确定设计空间大小的一般原则。利用单因素试验法，令抗弯刚度在初始设计值的基础上产生单位改变量，考察目标函数对应的改变量，建立两者之间的线性函数关系，以初始有限元模型的目标函数值和对应实测值的差值为目标，通过优化算法，使待修正参数的设计空间快速逼近最优区域。在优化的设计空间里建立响应面模型对桥梁结构抗弯刚度进行修正。数值算例和三跨连续梁实桥静载试验算例证明，该方法显著地提高了基于响应面的桥梁结构抗弯刚度修正的精度。该方法在复杂高次模型中具有更大的应用前景，有很好的工程应用价值。关键词：响应面；单因素试验设计；设计空间优化；桥梁抗弯刚度修正中图分类号：TU311文献标识码：A文章编号：Bendingstiffnessupdatingofbridgestructuresbasedonimprovedresponse-surfacemethodDAIHan-chao，SHIXue-fei，RUANXin(DepartmentofBridgeEngineering,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)Abstract：Accordingtotheapplicationconditionsofresponsesurfacemethod(RSM),animprovedresponse-surfacemethodwasproposedfromtheviewpointofengineeringapplication.Inaddition,ageneralruletodecidetheboundaryofdesignspaceinupdatingbendingstiffnessofbridgestructureswaspresented.Intheone-factorexperimentaldesign,linearfunctionswereestablishedwhichexpressedthechangeofcorrectionparametersandthatofobjectivefunctions.Optimalalgorithmwasusedtoreducethegapbetweenthelinearfunctions’resultsandthedifferencesofinitialFEMvaluesandmeasuredvalues.Inthisway,thedesignspaceapproachedtotheoptimalspacerapidly.Thenresponsesurfacemethodofbridgestructureswasconstructedtoupdatethebendingstiffness.Theproposedprocedurewasillustratedbyanumericalbeamandathree-spancontinuousbridgetestedunderstaticloadconditions.Theproposedmethodhasvastandappliedforeground,especiallyinthenonlinearproblems.Keywords：Responsesurfacemethod;One-factorexperimentaldesign;Optimizationofdesignspace;Bendingstiffnessupdatingofbridge桥梁结构可以看成是一个刚度、质量和阻尼矩阵组成的力学系统。其中桥梁刚度参数是桥梁承载能力、病害成因、抗震防灾能力分析评估的重要参数，事实上许多损伤识收稿日期：0000-00-00．基金项目：广东省交通运输厅科技项目(科技-2012-02-028)通讯作者：石雪飞(1964-)，男，江苏省泰州市人，教授，博士生导师，从事桥梁施工信息与技术研究，电话[phone]；E-mail：[e-mail]别问题最后都归结为刚度修正[1-3]，解决大跨径预应力混凝土梁桥的主跨长期下挠过量和梁体开裂等关键问题[4]也涉及到对桥梁抗弯刚度的修正。因此，桥梁刚度修正是有限元模型修正[1,5]的一个重要内容。而基于响应面法(RSM)的有限元模型修正是近年来一个研究热点，它是以显式的响应面模型逼近设计参数与目标函数间复杂的隐式函数关系，得到简化的结构模型（Meta-model）[6-8]，从而代替原有限元模型，在其基础上进行复杂计算，实现优化修正、预测响应等。尽管基于响应面方法的结构有限元模型修正[9-12]取得了一些研究成果，但如何提高响应面模型的精度，仍是个值得研究的问题。本文介绍一种基于静力响应面的桥梁抗弯刚度修正技术，并从工程应用的角度对响应面法进行改进，对桥梁抗弯刚度修正中确定试验设计空间大小的一般原则进行探讨。1.基于响应面法的有限元模型修正基于响应面的有限元模型修正的主要步骤包括：样本选取、响应面的拟合、回归方程及系数的显著性检验和构建优化函数进行有限元模型修正。1)基于试验设计的样本选取。样本的选取关系到响应面的精度和试验成本，试验设计的本质是在设计空间挑选出合适的代表点。正交试验设计和中心复合设计[13]是基本的试验设计方法，本文进行2水平正交试验设计。正交试验对于全面试验来说是一种部分试验，但对于其中任何两个因素却是具有等量重复的全面试验[14]。2)响应面的拟合。对大多数工程问题来说，一阶或二阶多项式模型可以满足工程要求[15]。一阶模型可表示为：kRSM12k0iii=1f=f(x,x,,x)+e=b+bx+e(1)写成矩阵形式：Y=XB+e式中β0、βi是待估计的回归系数，xi是待修正参数，Y是所有响应构成的向量，e为相应的误差向量，X表示修正参数矩阵，B是所有回归系数组成的矩阵，常由最小二乘法求解：B=（X’X）-1X’Y。3)显著性检验。一般来说，对于多个响应面模型和较复杂模型，常应用R2检验[13]和相对均方根误差检验[16]。F检验法（又称方差分析法）[17]可以定量判断响应面模型的显著性。,,1MSRSSRSSEFMSRMSEMSEmnm(2)式中，SSR是模型的总离差平方和；SSE是残差平方和。m是因子数目，n是样本数目。给定显著水平α，F检验法则为：若(1,)FFmnm，即认为模型响应与因子间回归关系显著，否则认为回归关系不显著，可以逐次剔除最不显著的因子，重新进行试验设计。因子ix的显著性可以用统计量SSi表示：2iiiibSSc(3)其中，iic为矩阵C=(X’X)-1主对角线的第i个元素，SSi越大说明ix越显著。4)构建优化函数。RSMf代表响应面模型响应，与之对应的实测响应为expf。有限元模型修正可归结为以下优化问题：2expRSM(),()({}{})st.MinFXFXfflbXub(4)式中,lbub是设计空间范围。本文使用Matlab优化工具箱中的多目标优化函数fmincon。2.改进的响应面方法如何提高参数的修正精度是有限元模型修正技术研究的最终目标，基于响应面方法的结构模型参数修正中试验设计、响应面函数形式以及响应面函数拟合方法直接决定响应面函数模型的精度，是基于响应面方法结构模型参数修正的研究重点。从几何观点来看，响应面法实际上是用一系列超曲面来代替实际的复杂函数关系。当某优化点周围一定数量的样本点的实际函数已知时，可通过试验设计获得样本点，利用方程回归方法建立一个曲面函数，在充分靠近这个优化点的区域内，可以用这个曲面函数来代替实际函数并进行复杂计算[18]。在刚度修正问题中，优化点就是真实刚度值，样本点就是有限元模型中真实刚度值周围一系列有代表性的值，样本点所在区域就是进行试验设计的设计空间。响应面模型能精确地代替有限元模型的重要条件是设计空间充分接近包含优化点的优化区域。在此，利用单因素试验设计对响应面法中试验设计的设计空间进行优化。2.1基于单因素试验的设计空间优化法首先假设桥梁的响应(m个测点挠度)与因子(k个梁段的抗弯刚度)之间满足一次关系01(1,2,)kjjjiiiyaaxjm…。保持其它因子不变，使因子1x在初始设计值的基础上产生改变量1x(1x的符号可以视实测响应值与初始有限元模型计算值的大小关系确定)，经有限元软件计算出yj的变化量1jy，于是yj的表达式中1x的系数111jjayx；同理可知yj的表达式中ix的系数(2,3,)jijiiayxik。至此，便可得到响应变化量与各因子改变量之间的线性函数：1kjjiiiyax。以实测挠度相对于初始有限元模型计算值的变化量Tjy作为目标函数值，构造优化函数：21(),()()st.mTjjjMinFXFXyylbXub(5)其优化解便是初始值的改变量，将改变后的初始值作为设计空间的中心点。这些中心点比初始值更接近优化点，因此设计空间也更接近优化区域。2.2基于改进响应面的抗弯刚度识别设计空间大小的取值遵循的准则为：使基于单因素试验的设计空间快速逼近优化区域，从而提高响应面模型修正的精度。在桥梁抗弯刚度识别中，单因素改变量可以取初始设计值的50%，试验设计的边界为中心值20%。综上所述，利用静力测试基于改进响应面的抗弯刚度修正流程如图1所示。基于单因素试验的设计空间优化试验设计有限元计算，获得样本拟合响应面模型方差分析NO实测挠度静力荷载试验构造优化函数，进行刚度修正YES图1.基于改进响应面的抗弯刚度修正流程Fig.1FlowchartoffiniteelementmodelupdatingprocedurebasedonimprovedRSM3.数值算例分析分别应用传统响应面法和本文提出的改进响应面法对一座65+100+65m三跨连续梁桥的有限元模型进行抗弯刚度修正。将两种方法的修正结果与假设的抗弯刚度值对比，来验证改进响应面法的可行性。在背景桥上指定13个挠度测试点，以相邻两个挠度测点之间的中点和支座位置为梁段节点将全桥分为13个梁段。响应为各测点挠度yi，以13个梁段的抗弯刚度值Mi(i=1,2,…13)为识别参数。梁段划分和挠度测试位置如图2所示。实际桥梁产生的损伤可能在全桥多个梁段同时发生，因此假设上部结构边跨梁段○2，○12刚度减小15%，梁段○6○7○8刚度减小20%，其余梁段○1，○3，○4，○5，○9，○10，○11，○13刚度减小10%。3.1优化设计空间该数值算例是对旧桥进行抗弯刚度修正，因此令各抗弯刚度在设计值的基础上降低50%，按2.1节所述方法构造挠度变化量与各梁段抗弯刚度改变量之间的线性函数：1kjjiiiyaM。按假定损伤情况计算全桥13测点理论挠度变化值exp{}f，构造如(5)式所示的优化函数，解得抗弯刚度改变向量M，所以13个梁段的抗弯刚度相对于初始设计值的系数如表1所示。以所得抗弯刚度值作为下一步试验设计的中心点。表1．13梁段抗弯刚度初始值对设计值的系数Table1Initialbendingstiffnessvaluesofthe13segments梁段编号Mi/M0梁段编号Mi/M010.91280.83220.86190.89330.909100.93240.907110.91850.914120.86660.846130.92270.8093.2建立一阶响应面模型利用试验设计软件Minitab进行正交试验设计，经计算20次试验能代表并反映全面试验的效果，同时具有均衡分散、整齐可比的正交性。规定因子Mi设计边界为±20%Mi(Mi的值如表1所示)，由有限元软件进行数值计算可得20个样本点。由最小二乘法计算出系数矩阵，构造不含交叉项的一次响应面模型：1213(,,)iiyfMMM(i=1,