高中数学必修5第一章《解三角形》1.2-应用举例(三)角度测量问题

数学必修5第一章《解三角形》1.2应用举例（三）角度测量问题一、课前练习：1.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6m，下底长为10m，高为m32，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为（）A．60,33B．60,3C．30,3D．30,332.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.3.用两根绳子AC、BC把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，若AC、BC的张力分别为5N、6N，求∠ACB的余弦值。（忽略绳子重量）二、课堂练习：1．△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()A.75°；B.60°；C.50°；D.45°。2．有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空，当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高BC的值约为米.3.海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？4.某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出船的方位角为45，与之相距10nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间奎屯王新敞新疆三、课后练习：1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A.103海里B.3610C.52D.56海里2.2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形面积是1，小正方形的面积是251，则22cossin的值是（）A、1B、2524C、257D、2573.某船开始看见灯塔在南偏东300方向，后来船沿南偏东600方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为nmile。4．一艘船以20nmile/h的速度向正北方向航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1小时后船在C处看见灯塔B在船的北偏东750的方向上，些时船与灯塔的距离BC为nmile。（精确到0.1nmile）5.在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为（3–1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距A为2nmile的C处的我方缉私艇奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间（保留根号）。6.海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°。（1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？7.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南)102(cos方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？参考答案OPθ45°东西北东1.2应用举例（三）角度测量问题一、课前练习：1、B；2、与水速成135°角；3、20135621056cos222ACB二、课堂练习：1、C；2、86米；3、如图，过点B作BD⊥AE交AE于D由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°在Rt△ABD中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan75°在Rt△CBD中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分∴8.3460tan75tan800BD∴该军舰没有触礁的危险。4、设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）在△ABC中，ACB=120,AC=100,AB=21t,BC=9t,由余弦定理：(21t)2=102+(9t)22×10×9t×cos120整理得：36t29t10=0,解得：125,3221tt（舍去）由正弦定理1433322123)329(sinsin120sinCABCABBCAB,∴CAB=2147’三、课后练习：1、B；2、B；3、310；4、3.28；5、北偏东600；6、（1）如图，)(330cot1kmOB，),(339)21(3332313||,120),(3360cot1kmBCBOCkmOC而∴船的速度);/(39261hkmBCv（2）设船到达的正西位置为D（x，0），∵B的坐标为),23,23()30sin3,30cos3(而C的坐标为),63,21()150sin33,150cos33(∵B、C、D三点共线，,23212363232323xx)0,23(D，),(6393631||kmCD(min),5)(121||hvCD该船在上午11时15分到达正西方向；（3）作OE⊥BC于E，则E点到A的距离最近，(min),1390)(263||),(1339352949||),(1323||,120sin||||||||hvEDkmDEkmOEOCOBBCOE(min),1318139015船在上午11时1318分时到A的距离最近.7、设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得：OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t因为102cos，α=θ-45°,所以1027sin，54cos由余弦定理可得：OQ2=OP2+PQ2-2·OP·PQ·cos即(60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t·54即0288362tt，解得121t,242t，2t121t答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时？OPθ45°东西北东