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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.等腰三角形的对称轴是()A.底边上的高所在的直线B.底边上的高C.底边上的中线D.顶角平分线2.如图在3×3的网格中,点A、B在格点处:以AB为一边,点P在格点处,则使△ABP为等腰三角形的点P有()个.A.2个B.3个C.4个D.5个3.如图,在△ABC中,∠B与∠C的角平分线相交于点I,过点I作BC的平行线,分别交AB、AC于点D、E.若AB=9,AC=6,BC=8,则△ADE的周长是()A.14B.15C.174.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于()A.10°B.15°C.20°D.25°5.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BC=6,则AB的值是()A.12B.8C.6D.36.用反证法证明“a≥b”,对于第一步的假设,下列正确的是()A.a≤bB.a≠bC.a<bD.a=b7.下列说法:①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等;②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等;③两边分别相等的两个直角三角形全等;④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,则下列结论正确的是()A.AE=3CEB.AE=2CEC.AE=BDD.BC=2CE9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是边AB的中点,AB=10,DE=4,则S△AEC=()A.8B.7.5C.7D.610.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,交CD于点E,若S△BCE=10,BC=5,则DE等于()A.10B.7C.5D.4二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)11.等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为.12.如图:已知∠B=20°,AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,以此类推∠A的度数是.13.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD平分∠BAC,点E为AC中点,则DE=.14.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点D,连接CD,若BD=2,则AD的长是.15.如图,DE是△ABC的边AC上的垂直平分线,AB=5cm,BC=8cm,则△ABD的周长为cm.16.如图,点D,P在△ABC的边BC上,DE,PF分别垂直平分AB,AC,连接AD、AP,若∠DAP=20°,则∠BAC=.17.如图,AB∥CD,∠BAC与∠ACD的平分线交于点P,过P作PE⊥AB于E,交CD于F,EF=10,则点P到AC的距离为.18.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=40,DE=4,AC=12,则AB长是.三.解答题(共7小题,共66分)19.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,求∠DBA的度数.20.如图,已知AB∥CD,∠BCF=180°,BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∠ACE=90°.求证:AC⊥BD.21.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是△ABC内部的一条线段,AE交CD于点F,交CB于点E,且∠CFE=∠CEF.求证:AE平分∠CAB.22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.(1)求∠B的度数:(2)求证:BC=3CE.23.如图,直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB,BC于点D和点E.(1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?为什么?(2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.24.如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D.(1)求∠DBC的度数;(2)若△DBC的周长为14cm,BC=5cm,求AB的长.25.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.(1)求∠AEB的度数;(2)求证:CE=DE.参考答案一.选择题1.解:等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线,故选:A.2.解:如图所示,以AB为腰的等腰三角形的点P有2个,以AB为底边的等腰三角形的点P有3个,∴△ABP为等腰三角形的点P有5个;故选:D.3.解:∵BI平分∠DBC,∴∠DBI=∠CBI,又∵DE∥BC,∴∠DIB=∠IBC,∴∠DIB=∠DBI,∴BD=DI.同理CE=EI.∴△ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC=15,故选:B.4.解:∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴AD是BC的线段垂直平分线,∵E是AD上一点,∴EB=EC,∴∠EBD=∠ECD,∵∠CED=50°,∴∠ECD=40°,又∵∠ABC=60°,∠ECD=40°,∴∠ABE=60°﹣40°=20°,故选:C.5.解:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=6,故选:C.6.解:反证法证明“a≥b”,第一步是假设,a<b,故选:C.7.解:①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等;②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等,正确;③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等;④如果在两个直角三角形中,例如:两个30°角的直角三角形,一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等,这两个直角三角形肯定不全等,错误;故选:A.8.解:连接BE,∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE,∴AE=2CE,故选:B.9.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,C点E是边AB的中点,∴AE=BE=CE=AB=5,∵CD⊥AB,DE=4,∴CD==3,∴S△AEC=S△BEC=BE•CD=3=7.5,故选:B.10.解:作EF⊥BC于F,∵S△BCE=10,∴×BC×EF=10,即×5×EF=10,解得,EF=4,∵BE平分∠ABC,CD⊥AB,EF⊥BC,∴DE=EF=4,故选:D.二.填空题11.解:由题意知,应分两种情况:(1)当腰长为3cm时,则另一腰也为3cm,底边为12﹣2×3=7cm,∵3+3<7,∴边长分别为3,3,7不能构成三角形;(2)当底边长为3cm时,腰的长=(12﹣3)÷2=4.5cm,∵0<3<4.5+4.5=9,∴边长为3,4.5,4.5,能构成三角形,则该等腰三角形的一腰长是4.5cm.故答案为:4.5cm.12.解:∵∠B=20°,AB=A1B,∴∠A=(180°﹣∠B)=80°,故答案为:80°.13.解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,又点E为AC中点,∴DE=AC=5,故答案为:5.14.解:∵DE垂直平分AC,∴CD=AD,∴∠ACD=∠A=30°,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴∠ACB=90°﹣∠A=60°,∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=30°,∴CD=2BD=2×2=4,∴AD=CD=4.故答案为:4.15.解:∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线,∴AD=CD,∵AB=5cm,BC=8cm,∴△ABD的周长为:AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm).故答案是:13.16.解:∵DE,PF分别垂直平分AB,AC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAP,又∵∠DAP=20°,∴∠B+∠C=(180°﹣20°)=80°,∴∠BAC=180°﹣80°=100°,故答案为:100°.17.解:作PH⊥AC于H,∵AP平分∠BAC,PE⊥AB,PH⊥AC,∴PE=PH,∵AB∥CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD,∵CP平分∠ACD,PF⊥CD,PH⊥AC,∴PF=PH,∴PH=PE=PF=EF=5,即点P到AC的距离为5,故答案为:5.18.解:作DF⊥AC于F,如图,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=4,∵S△ABD+S△ADC=S△ABC,∴•4•AB+•12•4=40,∴AB=8.故答案为8.三.解答题19.解:∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,∴∠A=∠C=35°,∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,∴AD=BD,∴∠DBA=∠A=35°20.证明:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCF.(两直线平行,同位角相等)∵BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∴∠2=∠ABC,∠4=∠DCF.(角平分线的定义)∴∠2=∠4.∴BD∥CE.(同位角相等,两直线平行)∴∠BGC=∠ACE.(两直线平行,内错角相等)∵∠ACE=90°,∴∠BGC=90°,即AC⊥BD.(垂直的定义)21.证明:∵CD⊥AB,∴在△ADF中,∠DAF=90°﹣∠AFD=90°﹣∠CFE.∵∠ACE=90°,∴在△AEC中,∠CAE=90°﹣∠CEF.∵∠CFE=∠CEF,∴∠DAF=∠CAE,即AE平分∠CAB.22.解:(1)∵AE⊥CD,∴∠AFC=∠ACB=90°,∴∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠ECF=90°,∴∠ECF=∠CAF,∵∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=2∠DCB,∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB,∴∠CAB=2∠B,∵∠B+∠CAB=90°,∴∠B=30°;(2)∵∠B=∠BAE=∠CAE=30°,∴AE=BE,CE=AE,∴BC=3CE.23.解:(1)△CDE的周长为10.∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,∴AD=CD,BE=CE,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10;(2)∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,∴AD=CD,BE=CE,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,又∵∠ACB=125°,∴∠A+∠B=180°﹣125°=55°,∴∠ACD+∠BCE=55°,∴∠DCE=∠ACB﹣(∠ACD+∠BCE)=125°﹣55°=70°.24.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=70°,∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠A=∠ABD=40°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣40°=30°;(2)∵MN是AB的垂直平分线,∴BD=AD,∵△DBC的周长为14cm,∴BD+BC+CD=14cm,∵BC=5cm,∴BD+CD=AD+CD=AC=9cm,∵AB=AC,∴AB=9cm.25.解:(1)∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°.∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAB.同理可得∠EBA=∠ABD.∴∠EAB+∠EBA=90°,∴∠AEB=90°;(2)如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,在△ACE和△AFE中,∴△ACE≌△AFE(SAS).∴CE=FE,∠CEA=∠FEA.∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA+∠FEB=90°,∴∠DEB=∠FEB.在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB(ASA).∴ED=EF.∴ED=CE.
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