常微分方程(王高雄)第三版-5.2

§5.2线性微分方程组的一般理论常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第五章()(),(5.14)dxAtxftdt()(),Atftatb和在上连续一阶线性微分方程组:()0(5.14)ft若则变为(),(5.15)dxAtxdt称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.()0,(5.14)ft若则称为非齐线性微分方程组.一、齐次线性微分方程组1叠加原理12112212(),(),()(5.15),()()()(5.15),,,.mmmmxtxtxtcxtcxtcxtccc如果是方程组的m个解则它们的线性组合也是方程组的解这里是任常数定理2证明:()(1,2,)(5.15)ixtim由于是方程组的m个解则有()()(),1,2,,iidxtAtxtimdt所以1()miiidcxtdt1()miiidxtcdt()()iAtxt1()()miiiAtcxt1miic(),(5.15)dxAtxdt2函数向量组线性相关与无关定义设12(),(),,()mxtxtxt是一组定义在区间[,]ab上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数1C,2C,...,mC,使得对所有atb，有恒等式否则就称这组向量函数在区间[,]ab上线性无关.则称1()xt,2()xt,...,()mxt在区间[,]ab上线性相关;1122()()()0mmcxtcxtcxt证明:121,1,cc取则1122()()cxtcxtt12(),()xtxt故在任何区间线性相关例1证明:函数向量组21cos()1,txtt在任何区间都是线性相关的.221sin()1,txtt22cos(1sin)11tttt00,0证明:要使112233()()()cxtcxtcxt2331230010ttttteeccecee0例2证明:函数向量组1()0,ttexte320(),1txte在(-,+)上线性无关.233(),0ttexte2133230000,100ttttteeceectec则需因为2330010ttttteeeee42te0,所以1230,ccc123(),(),()xtxtxt故线性无关.t3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式natb设有个定义在上的向量函数11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt由这n个向量函数所构成的行列式11121212221212()()()()()()[(),(),()](),()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtWxtxtxtWtxtxtxt称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式(2)定理312(),(),(),()0,.nxtxtxtatbWtatb如果向量函数在上线性相关则它们的Wronsky行列式证明:12(),(),(),nxtxtxtatb因在上线性相关12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使1122()()()0,nncxtcxtcxtatb(3)定理412(),(),(),()0,.nxtxtxtWtatb如果(5.15)的解线性无关则它们的Wronsky行列式证明:00[,],()0,tabWt若有使得“反证法”则10200(),(),()nxtxtxt数值向量组线性相关,12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使得1102200()()()0,(5.17)nncxtcxtcxt现在考虑函数向量1122()()()()nnxtcxtcxtcxt由叠加原理知,()(5.15),xt是的解(),(5.15)dxAtxdt由(5.17)知,()xt该解满足初始条件0()0xt因此,由解的存在唯一性定理知,()0xt即有1122()()()0,nncxtcxtcxtatb12(),(),()nxtxtxtatb故解组在上线性相关,矛盾注1:12(),(),()nnxtxtxt(5.15)个解线性相关()0,.Wtatb注2:12(),(),()nnxtxtxt(5.15)个解线性无关()0,.Wtatb12(),(),()nnxtxtxtWronsky即(5.15)个解所构成的行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.(),(5.15)dxAtxdt(4)定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解.证明:0[,],tab任取由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件10200100010(),(),,()001nxtxtxt12(),(),();[,]nxtxtxttab的解且010200()[(),(),()]10nWtWxtxtxt12(),(),()nxtxtxtatb故在上线性无关.(),(5.15)dxAtxdt4通解结构及基本解组定理612(),(),()nxtxtxtn如果是(5.15)个线性无关的解,则112()(),,niiinxtcxtccc(5.15)的任一解均可表为,其中是相应的确定常数.(),(5.15)dxAtxdt推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组:12(5.15)(),(),();nnxtxtxt个线性无关解为(5.15)的一个基本解组.注1:(5.15)的基本解组不唯一.注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性,本节所有定理都可平行推到n阶线性微分方程.首先有:12(-1)(),(),()nnxtxtxt一组次可微的纯量函数线性相关的充要条件是,向量函数12'''12(1)(1)(1)12()()()()()(),,,;()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt线性相关.证明:12(),(),()nxtxtxt设线性相关,12,,,nccc则存在不全为零的常数,使得1122()()()0nncxtcxtcxtt-1n将上式对微分一次,二次,,次得'''1122()()()0nncxtcxtcxt''''''1122()()()0nncxtcxtcxt(1)(1)(1)1122()()()0nnnnncxtcxtcxt即有12'''1212(1)(1)(1)12()()()()()()0,()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtcccxtxtxt即向量组(*)是线性相关的.反之,如果向量组(*)是线性相关,12,,,nccc则存在不全为零的常数,使得()成立有1122()()()0nncxtcxtcxt12(),(),()nxtxtxt这表明线性相关.从本节定理6立即得到从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,本节定理3,4,5第四章定理3,4,5.推论212(),(),()nxtxtxtn如果是阶微分方程111()()0(5.21)nnnnndxdxatatxdtdt;()(1,2,,),inatinatb个线性无关解其中是上连续函数()xt则(5.21)的任一解可表为1122()()()()nnxtcxtcxtcxt12,,,;.nccc是相应确定的常数5解矩阵,基解矩阵及性质(1)定义(5.15),nn如果一个矩阵的每一列都是的解则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.[,](5.15),ab如果该矩阵的列在是的线性无关解组则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵.12(),(),()()ntttt以(5.15)基本解组为列构成的矩阵,用表示,即12()[(),(),()].ntttt*(2)定理1(5.15)(),()(5.15),tt一定存在一个基解矩阵如果是的任一解那么()(),(5.22)ttC.Cn这里是确定的维向量*(3)定理2()t(5.15)的解矩阵是基解矩阵充要条件是:00det()0(),,[,],det()0,det()0,.tatbtabttatb而且如果对某一则由定理5,6得由定理3,4得注:()nnt矩阵是(5.15)基解矩阵充要条件是:'()()(),;tAttatb00[,]det()0.tabt使例3验证()0tttetete是方程组1'211,01xxxxx其中的基解矩阵.解:由于'(1)()0ttteette11010tttetee1101()t()t故是解矩阵,又由于det()0tttetete20te()t所以是基解矩阵.*推论1()()tatbCnntCatb如果是(5.15)在基解矩阵,是非奇异常数矩阵,那么也是在区间上的基解矩阵.()t基解矩阵证明:'()()(),;tAttatb()(),ttCatb令''()()ttC()()AttC()()Att()t故为(5.15)的解矩阵,C非奇异det()det()det0,ttCatb()(5.15).t是的基解矩阵*推论2(),()(5.15),,,,()().ttatbnnCatbttC如果是在上两个基解矩阵那么存在一个非奇异常数矩阵使得在区间上有证明:()t是基解矩阵,1()t存在,1()()(),ttXt令()()(),ttXt即(),Xtnn则是可微矩阵且det()0,;Xtatb'()()()Attt''()()()()tXttXt'()()()()()AttXttXt'()()()(),;AtttXtatb'()()0,tXt'()0,;Xtatb即(),xtnnC故为常数矩阵且非奇异记作即有()(),ttC例4验证33()tttteetee是方程组'21,12xx基解矩阵,并求其通解.解:(),()(),ttt12分别用表示矩阵的第一二列,即33(),(),tttteettee12'()()0tXt'1()ttete2112ttee2112()t13'233()3ttete211233ttee2112()t2(),(),tt12是方程组的解(),t即为解矩阵又由于33det()tttteetee42te0()t故是基解矩阵,其通解为()xtC3132ttttceecee312312ttttcececec