高等数学2017年最新课件导数的概念(第一课时)

1.导数的概念2.导数的运算3.隐函数及参数方程的函数的求导法则4.高阶导数5.微分第二章导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度tSS设有一质点作变速直线运动,其运动方程为§1导数的概念一.引例求:质点在0tv时刻的瞬时速度0tttsttsvtv000ttsttsvtv0000t时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0tstts00由于速度是连续变化的,分析：可以近似地用平均速度0tv代替瞬时速度vvtstt00limlim于是当时,0t的极限即为ts0tvt越小,近似的程度越好ttsttstvt0000lim称为曲线L上点P处的切线2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQxTxx00xy设曲线L的方程为y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQxTxx00xy曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.xxfxxfx)()(lim000即:xykx0limtan函数的增量与自变量增量之比,二.导数的定义000000)()(lim)()(limlim0xxxfxfxxfxxfxyxxxx1.导数定义:存在,若极限设函数在的某个邻域内有定义,)(xfy0x则称函数在处可导,并称此极限值)(xf0x为函数在点处的导数)(xf0x记作:)('0xf0'xxy0xxdxdy0xxdxdf0xxxf或0000000)()(lim)()(lim)('xxxfxfxxfxxfxfxx即同时也称为I内的可导函数)(xf.)(.xf的导函数这个函数叫做原来函数导数值)(xdfdy.),(,dxdxxfy或记作)(,xfIx的一个确定的都对应着对于任一三.用导数定义求导数(1)求增量:;)()(xfxxfy根据定义求成的导数,可分为以下三个步骤:)(xfyxy(2)算比值:;xyyx0lim(3)取极限:.例1求常数函数y=C(C为常数)的导数解(1)求增量:c，yxcy都等于取什么值时不论因为,0y所以0xy(2)算比值(3)取极限:0lim0xyyx0)('c即例2.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解xxfxxfxfx)()(lim)(0.ln)(aaaxx即.)(xxeexaaxxxx0limxaaxxx1lim0aaxln例3求函数f(x)=sinx的导数.解00()()sin()sin()limlimhhfxhfxxhxfxhh0sin2limcos()cos,22hhhxxh01lim2cos()sin22hhhxhxxcos)(sin'即xxsin)(cos'同理可得，余弦函数的导数例4求函数f(x)=㏒ax(a0,a≠1)的导数.'00()()log()log()limlimaahhfxhfxxhxfxhh解0011limloglimlog(1)aahhxhxhhhxhx0log(1)11lim.lnahhxhxxax'1(log).lnaxxa即四.左导数和右导数定理:左导数：右导数：五.函数的可导性与连续的关系1.若函数y=f(x)在点处可导，则f(x)在点处连续.x0x02.尽管函数y=f(x)在点处连续，但f(x)在点处不一定可导.x0x03.若函数y=f(x)在点处不连续，则f(x)在点处不可导.x0x0处的连续性与可导性在讨论函数例0)(5xxxfy解0,0,)(xxxxxxfyxxfxfy00)0()0(0limlim00xyxx处连续在所以0xxy1limlim00xxxyxx－－又因为1limlim00xxxyxx不可导在所以处左右导数不相等，在00xxyx处的连续性与可导性在讨论函数例00,10,12)(62xxxxxxf解x=0是分段函数的分段点，讨论其连续性与可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论.1)12(lim)(lim00xxfxx－－1)0(,1)1(lim)(lim200fxxfxx1)0()(lim)(lim00fxfxfxx－因而.0)(处连续在所以xxf21]1)0(2[lim)()0(limlim000xxxxfxfxyxxx01]1)0[(lim)()0(limlim2000xxxxfxfxyxxx.0)().0()0(处不可导在所以因而xxfff六.导数的实际意义1.导数的几何意义)(xfy)(0'xf0x在点处的导数在几何上表示曲线)(xfyxyαM0x))(,(00xfxM在点处的切线的斜率,tan)(0'xf即如果函数)(xfy在点0x处可导,))(()(00'0xxxfxfy则曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线方程为)()(1)(00'0xxxfxfy0)(0'xf如果)(0'xf为无穷大,切线方程为0xx曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的法线方程为例7.求曲线2xy在点（1,1）处的切线和法线方程.21xyK切解:因为根据导数的几何意义,2xy.012),1(21yxxy即故所求的切线方程为法线方程为.032),1(211yxxy即2.导数的物理意义对于不同的物理量有不同的物理意义).()()()(ttttt速度，即对时间的导数，就是角的函数，度，它是时间是物体绕一轴旋转的角变速直线运动位移函数s=s(t)的导数就是速度，即)()(tvts).()()()(titQttQttQQ物导数，就是电流，即对时间的函数，，它是时间是通过导体截面的电量