平面向量的极化恒等式及其应用

平面向量的极化恒等式及其应用一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.证法1（向量法）设.,bADaAB则,,baDBbaAC2222222222ADABbababaDBAC.即22222ADABDBAC.证法2（解析法）证法3（余弦定理）推论1：由22222ADABDBAC知，2222222ADABOBAO,即22ADAB222OBAO推论2：2241bababa--------------------极化恒等式.即22OBAOADAB推论3：在ABC中，O是边BC的中点，则222241BCAOOBAOACAB----------------极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义.二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.22222ADABDBAC.三.三角形中线的一个性质：22ACAB222OBAO.推论1：2AO22221OBACAB.推论2：2AO2224121BCACAB.【应用】已知点P是直角三角形ABC斜边AB上中线CD的中点，则222PCPBPA.四.三角形“四心”的向量形态1.O是平面上一定点，CBA,,是平面上不同的三点，动点P满足ACACABABOAOP，，0，则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心2.O是平面上一定点，CBA,,是平面上不同的三点，动点P满足CACACBABABOAOPsinsin，，0.则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心3.O是平面上一定点，CBA,,是平面上不同的三点，动点P满足CACACBABABOAOPcoscos，，0，则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心4.P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，P是ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心ABC5.O是ABC所在平面内的一点，满足222222OABCOBACOCAB，则点O是ABC的------（）A.外心B.内心C.重心D.垂心五.典型案例分析问题1在ABC中，M是BC的中点，103BCAM，，则ACAB【变式】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DADE问题2已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PBPA的取值范围是---------【变式】（2010福建文11题）若点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则FPOP的最大值为（）A.2B.3C.6D.8问题3（2013浙江理7）在ABC中，0P是边AB上一定点，满足ABBP410，且对于边AB上任一点P，恒有CPBPPCPB00，则A.2ABCB.2BACC.ACABD.BCAC【变式】（2008浙江理9题）已知ba,是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0cbca，则c的最大值是（）A.1B.2C.2D.22.问题3已知直线AB与抛物线xy42交于点BA,，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若0C满足CBCABCACmin00，则下列一定成立的是（）【B】A.ABMC0B.lMC0，其中是抛物线过点的切线C.BCAC00D.ABMC0（2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4在正三角形ABC中，D是BC上的点，13BDAB，,则ADAB（2011年上海第11题）【215】问题5在ABC中，32ACAB，，D是BC的中点，则BCAD.（2007年天津文科第15题）【25】问题6正方体1111DCBAABCD的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦最长时，PNPM的最大值为---------.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P是棱长为1的正方体1111DCBAABCD的底面1111DCBA上一点，则PCPA的取值范围是--------------.（2013年北京市朝阳区高三数学二模）【1,21】.问题8如图，在平行四边形ABCD中，已知58ADAB，，PDCP3，则2BPAP.ADAB的值为-----.（2014年高考江苏卷第12题）【22】问题9如图，在半径为1的扇形AOB中，060AOB,C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则2BPOP最小值为-------【21】.问题10已知00,yxM是双曲线1:2222byaxC上的一点，21,FF是C的两个焦点，若021MFMF，则0y的取值范围是（）A.33,33B.63,63C.322,322D.332,332【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】：在椭圆01:2222babyaxC中，设21MFF，则2cos2221bMFMF，2tan2bSABC，cby2tan2.在双曲线0,01:2222babyaxC，设21MFF，则2sin2221bMFMF，2cot2bSABC，cby2cot2.课外探究1.已知点P是椭圆181622yx上任意一点，EF是圆12:22yxM的直径，则PFPE的最大值为-------【23】2.若直线02yx与圆433:22yxC相交于BA,两点，则CBCA=--------.3.已知双曲线1322yx的左顶点1A，右焦点2F，P为双曲线右支上一点，则21PFPA的最小值为----【—2】