2015高考数学二轮复习热点题型专题二十五 平面向量的概念及其线性运算

专题二十五平面向量的概念及其线性运算【高频考点解读】1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一向量的有关概念例1、设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【提分秘籍】1．向量与有向线段向量常用有向线段表示，它们是两个不同概念，有向线段由起点、终点方向唯一确定，而向量是由大小和方向来确定的．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如若a∥b、b∥c则a∥c是假命题，因为当b为零向量时，b与c为任意向量，两者不一定平行．3．共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行．4．相等向量一定是平行向量．【举一反三】下列说法中正确的是()A．只有方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量的长度为零C．长度相等的两个向量是相等向量D．共线向量是在一条直线上的向量【热点题型】题型二向量的线性运算例2、D是△ABC的边BA上的中点，则向量CD→等于()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→【提分秘籍】1．两个向量的和仍是一个向量．2．利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点(可结合物理中位移的合成来认识)；利用平行四边形法则进行加法运算时，两向量要有相同的起点(可结合物理中力的合成来认识．)3．当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．4．利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终点，并指向被减向量即为差向量．5．实数和向量可以求积，但不能求和或求差．6．λ＝0或a＝0⇔λa＝0.【举一反三】在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)【热点题型】题型三共线向量定理例3、设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【提分秘籍】1．一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则λ＝0φλ＝0，解方程组即可．2．注意充要条件中a≠0，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．4．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【举一反三】设a，b是两个非零向量，则下列选项正确的是()A．若|a－b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a－b|＝|a|＋|b|C．若|a－b|＝|a|－|b|，则a，b共线D．若a，b平行，则|a＋b|＝|a|＋|b|【热点题型】题型四向量为背景的新定义问题例4、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】由题意及A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)知：A1，A2，A3，A4四点在同一条直线上，且互不重合．因为点C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设AC→＝cAB→，AD→＝dAB→，则1c＋1d＝2，选项A中，若c＝12，此时d不存在，故A不正确；同理B也不正确；选项C中，若0c1且0d1，则1c＋1d2，故C也不正确．故D正确．【答案】D【提分秘籍】向量具有几何和代数的双重特征，因此它具有很强的延伸性，在各种考题中常常会出现以向量为背景的新定义问题．此类问题一般结合向量知识给出一些新定义、新信息，然后让考生利用这些新定义、新信息以及所学的知识来解题．本题以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化思想，在整个解题过程中所给的定义是解题的重要依据和方法．【举一反三】对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b和b∘a都在集合n2|n∈Z中，则a∘b＝()A.52B.32C．1D.12【高考风向标】1．（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)2．（2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．3．（2014·四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．24．（2013·江苏卷）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．5．（2013·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．6．（2013·四川卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35.(1)求cosA的值；(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．7．（2013·四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，故λ＝2.8．（2013·重庆卷）在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|＜12，则|OA→|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2D.72，2【随堂巩固】1.如图所示，已知AB→＝2BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下列等式中成立的是()A．c＝32b－12aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝32a－12b2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A．－13B．－23C.13D.233.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝()A.12AB→＋12AD→B．－12AB→－12AD→C．－12AB→＋12AD→D.12AB→－12AD→4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上5．已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a－b＋c－d＝0B．a－b＋c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝06．在△ABC中，N为边AC上一点，且AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为()A.911B.511C.411D.3117．已知在△ABC中，D是AB边上的一点，CD→＝λ(CA→|CA→|＋CB→|CB→|)，|CA→|＝2，|CB→|＝1，若CA→＝b，CB→＝a，则用a，b表示CD→为()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a＋13bD.23a＋23b8．O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F给出下列命题：①OA→＋OB→＋OC→＝0；②OD→＋OE→＋OF→＝0；③|OD→|∶|OE→|∶|OF→|＝cosA∶cosB∶cosC；④∃λ∈R，使得AD→＝λAB→|AB→|sinB＋AC→|AC→|sinC.以上命题正确的个数是()A．1B．2C．3D．49．下列四个命题：①若|a|＝0，则a为零向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确个数有________个．10．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故8－λk＝0，k－2λ＝0，解得k＝±4.答案：±411．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.12．已知P为△ABC内一点，且3AP→＋4BP→＋5CP→＝0.延长AP交BC于点D，若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AP→、AD→.13.设点O在△ABC内部，且有4OA→＋OB→＋OC→＝0，求△ABC的面积与△OBC的面积之比．14．已知a，b不共线，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．15.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．