北师大五年级数学下册 长方体和正方体的总棱长、表面积和体积公式及应用题专练---教师

长方体和正方体的总棱长、表面积和体积公式专练长方体和正方体都有：12条棱、6个面、8个顶点长方体的总棱长=（长+宽+高）×4（单位：长度单位）正方体的总棱长=棱长×12（单位：长度单位）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2（单位：平方单位）长方体的体积=长×宽×高字母表示：V=abh（单位：立方单位）正方体的表面积=（棱长×棱长）×6（单位：平方单位）正方体的体积=棱长×棱长×棱长字母表示：V=a3（单位：立方单位）长方体（或正方体）的体积=底面积×高字母表示：V=sh（单位：平方单位）无盖的盒子的表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2（只算一个底面）面积单位的换算：1平方厘米＝100平方毫米;1平方分米=100平方厘米;1平方米＝100平方分米;1公倾＝10000平方米；1平方公里＝100公顷体积单位：1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米容积单位：1升=1000毫升；1升=1立方米；1毫升=1立方厘米1立方分米=1升；1立方厘米=1毫升；1立方米=1000升；应用题类型：（1）教室粉刷墙面，求总面积，应用以上公式计算。（要除去一个底面）（2）测量不规则物体的体积用排水法：水面上升的高度×容器底面积=物体的体积（3）表面积的变化要会分析：长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或长方体拼在一起，一次会减少两个面。1、把一个长方体的小木块截成两段，就成了两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的面积是多少平方厘米？解：截成各正方体的棱长为：40÷8=5（厘米）原长方体的长为：5×2=10（厘米）原长方体的表面积为：10×5×4+5×5×2=250（平方厘米）2、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？解：（7×6＋7×5＋6×5）×2＋7×6×2=（42+35+30）×2＋7×6×2=107×2＋84=298（平方厘米）3、在棱长为10厘米的正方体玻璃缸内装满水，然后将这些水倒入长20厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸内，这个玻璃缸内水深多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）解：10×10×10=1000（立方厘米）1000÷20÷10=5（厘米）4、将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有5块。求原来长方体的体积。5、把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，水面高度为10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少？解答：10-80÷20=10-4=6（厘米）6、要制作12节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少要用多少平方米的铁皮？分析：首先要搞清楚是长方体表面积的应用，求烟囱铁皮表面积就是求长方体的上下前后四个面的面积，缺少左右两个面，先求出一节烟囱的面积再求12节。7、一种无盖的长方体形铁皮水桶，底面是边长4分米的正方形，高1米。做一只这样的水桶至少要多少铁皮？这只水桶能装水多少升？8、一个长方体形状的儿童游泳池，长40米、宽14米，深1.2米。现在要在四壁和池底贴上面积为16平方分米的正方形瓷砖，需要多少块？9、一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。这时的水面高多少？分析：先求出体积是24立方分米的铁块使长方体的容器升高的高度，再加上原来装的水高，即可求解．点评：考查了长方体的体积，本题的关键是求出放入的铁块使长方体的容器升高的高度．解：24÷16+6=1.5+6=7.5（分米）．答：这时的水面高7.5分米．10、一块长方形铁皮，长32厘米，在它四个顶角分别剪去边长4厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768立方厘米。原来这块铁皮的面积是多少？分析：如图所示，铁皮盒的长是（32-4-4）厘米，高是4厘米，体积是768立方厘米，利用长方体的体积公式即可求得铁盒的宽；原来铁皮的长是32厘米，宽就是：铁盒的宽+4厘米+4厘米，再利用长方形的面积公式即可求出原来铁皮的面积．解：768÷[（32-4×2）×4]，=768÷96，=8（厘米）；32×（8+4+4）=512（平方厘米）；答：原来这块铁皮的面积是512平方厘米．长方体与正方体必须掌握的几种题型一、高的变化引起表面积的变化。1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？分析：根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（56÷4）÷2=7厘米，由于长比高多2厘米，那么高=7-2=5厘米，由此解答．解答：增加的1个面的面积：56÷4=14（平方厘米）；长方体的长（宽）：14÷2=7（厘米）；长方体的高：7-2=5（厘米）；体积：7×7×5=245（立方厘米）；答：原来这个长方体的体积是245立方厘米．故答案为：245立方厘米．二、段的变化1、将一个长2米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.24平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？三、切1、将一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？分析：把一个长方体截成两个长方体，只截一次，增加两个横截面，要使增加面积最大，则平行于8×6面切割，这样就是增加2个8×6面；要使增加的面积最小，则平行于6×4面切割，这样就增加2个6×4面，由此即可解答．解：8×6×2=96（平方厘米），6×4×2=48（平方厘米），答：两个长方体的表面积之和比原来最多可多96平方厘米，最小可增加48平方厘米四、拼。（拼表面积发生变化，体积不变）1、用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体，大正方体的体积是________，拼成一个长方体，表面积最大是________．分析：（1）用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体，大正方体的体积就是这8个小正方体的体积之和；（2）用8个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，有3种不同的拼组方法：1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米；2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米；2×2×2排列：棱长为4厘米；由此利用长方体的表面积公式计算出它们的表面积即可．解答：（2）1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米；表面积是：（16×2+16×2+2×2）×2=（32+32+4）×2=68×2=136（平方厘米）；2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米；表面积是：（8×4+8×2+4×2）×2=（32+16+8）×2=56×2=112（平方厘米）；2×2×2排列：棱长为4厘米；表面积为：4×4×6=96（平方厘米）；答：拼成的大正方体的体积是64立方厘米；拼成的长方体的表面积最大是136平方厘米．五、扩大和增加倍数。1、一个正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍.分析：根据正方体表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方，体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方求解即可．解答：一个正方体棱长扩大2倍，则表面积扩大2×2=4倍，体积扩大2×2×2=8倍．2、一个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，已知大正方体的体积比小正方体多21立方厘米，大小正方体的体积分别是多少？六、将一个长方体或正方体切成若干个小正方体或小长方体。1、把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木块，锯成若干个棱长2厘米的小正方体，一共可锯成多少个这样的小正方体？首先算出来长方体的体积8×6×4＝192cm3在算出小正方体体积2×2×2＝8cm3最后一步拿长方体体积除以小正方体体积192÷8＝24七、挖1、在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱长2分米的小正方体．所剩下的立体图形共有________个顶点，表面积是________平方分米，体积是________立方分米．分析：（1）在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱长2分米的小正方体．所剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点;（2）表面积在减少了3个面的同时又增加了3个面，所以表面积的大小与原来没有变化;（3）体积比原来减少了一个棱长为2分米的正方体的体积．解答：观察图形可知：剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点，所以一共有顶点8+2=10（个），表面积为：4×4×6=96（平方分米），体积为：4×4×4-2×2×2=64-8=56（立方分米），答：所剩下的立体图形共有10个顶点，表面积是96平方分米，体积是56立方分米．八、熔铸沉浮1、把一块棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成高2分米、宽4分米的长方体钢材，锻成的长方体钢材有多少长？分析：先利用正方体的体积V=a3，求出这块钢坯的体积，因为这块钢坯的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V=Sh求出锻成的钢材的长度2、把两个棱长都是1分米的正方体的方钢，熔铸成一根横截面是长5厘米、宽4厘米的长方体的钢材，这根钢材的长是多少分米？解：1×1×1×2=2（立方分米）5厘米=0.5分米4厘米=0.4分米2÷（0.5×0.4）=10（分米）答：这块钢材的长是10分米。