第三节三重积分(1)

第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在,),,(使得vzyxfd),,(Vf),,(V为的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:zxyDDyxdd方法1.投影法(“先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),,(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(ddyxzyxfdd),,(细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz微元线密度≈记作ab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzzyxfd),,(面密度≈zd记作投影法方法3.三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd当被积函数在积分域上变号时,因为),,(zyxf2),,(),,(zyxfzyxf),,(1zyxf),,(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),,(),,(zyxfzyxf小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxZDbayxzyxfzdd),,(d),(),()()(2121d),,(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.其中为三个坐标例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解::zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10x481面及平面xyz例2.计算三重积分解::zyxzddd222202(1)dczzabzcczc2222221:czbyaxDzzDyxddcczzd23154cbaabc用“先二后一”zDz,0r,20.z利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(rPr.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(rPrzxyzodxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzrdrdzrrfdrxyzodzdrrd如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzrdrddv例1计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解由zzryrxsincos,zrzr34222,3,1rz知交线为23242030rrzdzrdrdI.413面上，如图，投影到把闭区域xoy.20,3043:22rrzr，例２　计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，:2D,422yx.222020:22zrr:1D,1622yx,824020:21zrr所围成立体的投影区域如图，2D1D,)()(21222221dxdydzyxdxdydzyxIII12821DrfdzrdrdI,34522222DrfdzrdrdI,625原式I345625336.82402022rdzrrdrd22202022rdzrrdrd利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),,(,r0.20,0规定：为常数r为常数为常数如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo),,(zyxMrzyxA，轴上的投影为在点，面上的投影为在设点AxPPxoyM.,,zPMyAPxOA则dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2ddrdrdvdrxyzodrdsinrrdddsinr如图，例3计算dxdydzyxI)(22，其中是锥面222zyx，与平面az)0(a所围的立体.解1采用球面坐标az,cosar222zyx,4,20,40,cos0:ardxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a解2采用柱面坐标,:222ayxDdxdydzyxI)(22aradzrrdrd2020adrrar03)(2]54[254aaa.105a222zyx,rz,20,0,:arazr例4求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx,2ar22yxz,4,20,40,20:ar由三重积分的性质知dxdydzV,adrrddV202020sin44033)2(sin2da.)12(343a补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．例５　利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx例6计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,同理zx是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,,0xzdv由对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx在柱面坐标下：,20,10r,222rzr,122yx投影区域xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60（1）柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz（2）球面坐标的体积元素ddrdrdxdydzsin2（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv（计算时将三重积分化为三次积分）备用题1.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:2.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zD