第3章――第2节 回归分析《计量地理学》(华东师大,徐建华)

§3.2回归分析方法一元线性回归模型多元线性回归模型非线性回归模型的建立方法一、一元线性回归模型定义：假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：a和b为待定参数；为各组观测数据的下标；为随机变量。记和分别为参数a与b的拟合值，则（3.2.2）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；是y的估计值，亦称回归值。bxay（3.2.1）xbayˆˆˆ（3.2.2）aˆbˆyˆn,1,2,①参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与的误差ei的平方和达到最小，即②根据取极值的必要条件，有③解上述正规方程组（3.2.4）式，得到参数a与b的拟合值：niiininiiiibxayyyeQ121122min)()ˆ(niiiiniiixbxaybxay110)(0)(（3.2.4）iyˆ参数a、b的最小二乘估计（3.2.3）niiniiixxxyxxyyxxLLb121)())((ˆxbyaˆˆ2112111)(1))((1niiniininiiniiiixnxyxnyx（3.2.5）（3.2.6）显著性检验①方法：F检验法。②总的离差平方和：在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为可以证明（3.2.9）式中，Q称为误差平方和，或剩余平方和，而称为回归平方和。niiyyyyLS12)(总niiyyyyLS12)(总xyxxniiniiniiibLLbxxbxbabxayyU21221212)()()ˆ(（3.2.9）niniiiiUQyyyy1122)ˆ()ˆ(（3.2.8）③统计量F④F越大，模型的效果越佳。统计量F～F（1，n-2）。在显著水平α下，若FFα，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当FF0.10(1,n-2)时，则认为方程效果不明显。2nQUF（3.2.10）二、多元回归模型回归模型的建立①多元线性回归模型的结构形式：②回归方程:在（3.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其它自变量都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。aakaaaxxxyk22110（3.2.11）kkxbxbxbby22110ˆ（3.2.12）③偏回归系数的推导过程:根据最小二乘法原理，的估计值应该使由求极值的必要条件得方程组（3.2.14）式经展开整理后得min)]([)ˆ(122211012nakakaaanaaaxbxbxbbyyyQ),,2,1(0)ˆ(20)ˆ(2110kjxyybQyybQnajaaajnaaa（3.2.13）).,2,1,0(kii）（k,1,2,,0iib（3.2.14）方程组（3.2.15）式称为正规方程组。引入矩阵：nanaakanakkanakaakaanakananaaanakkaanaaaanaananaaanakkaanaaanaananaanakkanaaayxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxnb11122121101112122122121012111112121121011111212110)(....)()()(.)()()()()()()()()()()(（3.2.15)knnnkkxxxxxxxxxxxxX2132313222121k211111.11knnnkkkknkkknnTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA213231322212121113212232221113121111111111nakanakaanakaanakanakaanaanaaanaanakaanaaananaanakanaanaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn12121111212212112111211211111211nyyyY21nbbbbb210则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式BAbnaakanaaanaaanaanknkkknnTyyyxyxyyyyyxxxxxxxxxxxxYXB112111321321223222111312111111求解得：引入记号：YXYXBAbTT11)(),,2,1,())((1kjixxxxLLnajjiiajiij),,2,1())((1kiyyxxLnaaiiaiy（3.2.16）正规方程组也可以写成：kkkykkkkkykkykkxbxbxbybLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL2211022112222212111212111)51.2.3(回归模型的显著性检验①回归平方和U与剩余平方和Q：②回归平方和:③剩余平方和为：④F统计量为：计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。k21x,,x,xQULSyy总nanaiyiLbyyU112)ˆ(nayyaaULyyQ12)ˆ()1/(/knQkUF三、非线性回归模型非线性关系线性化的几种情况:①对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；②对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；③对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；bxdeyxbayxbaylnxbaybdxyxbayyylnxxdalnyyxxlnyylnxxlndaln④对于双曲线，令，转化为直线形式：；⑤对于S型曲线，可转化为直线形式：；⑥对于幂乘积：，只要令，就可以将其转化为线性形式：其中，；xbay1xbayxxexyybeay,1,1令xbaykkxxdxy2121kkxxxy22110xxyy1,1,ln,,ln,ln,ln2211kkxxxxxxyydln0⑦对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式：例:下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。kkxxxylnlnln22110kkxxxy22110kkxxxxxxyyln,,ln,ln,2211序号面积A周长P序号面积A周长P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.40615527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.049614697.1301234.1142469416.7008226.0091624519.867326.3171225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.235303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.410解：（1）作变量替换，令：，，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。AylnPxln序号y=lnAx=LnP序号y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.03