第3章――第4节 系统聚类分析《计量地理学》(华东师大,徐建华)

§3.4系统聚类分析方法聚类要素的数据处理•距离的计算•直接聚类法•最短距离聚类法•最远距离聚类法•系统聚类法计算类之间距离的统一公式系统聚类分析实例一、聚类要素的数据处理•当分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之前，首先要对聚类要素进行数据处理。假设有m个聚类的对象，每一个聚类对象都有n个要素构成。它们所对应的要素数据可用3.4.1给出。聚类对象要素njxxxx,,21mi21mnmjmminijiinjnjxxxxxxxxxxxxxxxx,,,,,,,,2121222221111211在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种:①总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即这种标准化方法所得到的新数据满足),,2,1;,,2,1(1njmixxxmiijijij（3.4.1）miijnjx1),,2,1(1②标准差标准化，即由这种标准化方法所得到的新数据，各要素的平均值为0，标准差为1，即有),,2,1;,,2,1(njmisxxxjjijij（3.4.2）1)(101121mijijjmiijjxxmsxmx③极大值标准化，即经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，其余各数值小于1。④极差的标准化，即经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。),,2,1;,,2,1(}{maxnjmixxxijiijij（3.4.3）),,2,1;,,2,1(minmaxminnjmixxxxxijiijiijiijij（3.4.4）例题:表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。表3.4.2某地区九个农业区的七项经济指标数据区代号人均耕地x1（hm2/人）劳均耕地x2（hm2/个）水田比重x3（%）复种指数x4（%）粮食亩产x5（kg/hm2）人均粮食x6（kg/人）稻谷占粮食比重x7（%）G10.2941.0935.63113.64510.51036.412.2G20.3150.9710.3995.12773.5683.70.85G30.1230.3165.28148.56934.5611.16.49G40.1790.5270.391114458632.60.92G50.0810.21272.04217.812249791.180.38G60.0820.21143.78179.68973636.548.17G70.0750.18165.15194.710689634.380.17G80.2930.6665.3594.93679.5771.77.8G90.1670.4142.994.84231.5574.61.17表3.4.3极差标准化处理后的数据x1x2x3x4X5X6X7G10.911.000.070.150.181.000.14G21.000.870.000.000.000.240.00G30.200.150.070.440.440.080.07G40.440.380.000.130.180.130.00G50.030.031.001.001.000.451.00G60.030.030.610.690.650.130.59G70.000.000.900.810.840.131.00G80.910.530.070.000.100.430.09G90.380.260.040.000.150.000.00二、距离的计算常见的距离有①绝对值距离②欧氏距离③明科夫斯基距离),,2,1,(1mjixxdnijkikij（3.4.5）),,2,1,()(12mjixxdnkjkikij（3.4.6）),,2,1,(11mjixxdpnkpjkikij（3.4.7）④切比雪夫距离。当明科夫斯基距时，有据表3.4.3中的数据，用公式（3.4.5）式计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：),,2,1,(maxmjixxdjkikkij（3.4.8）040.132.306.384.451.020.166.162.2003.596.314.529.124.288.032.1007.183.006.493.253.579.5078.199.286.146.472.4077.464.302.686.5023.147.119.2070.210.3052.10)(99ijdD（3.4.9）p三、直接聚类法原理：先把各个分类对象单独视为一类，然后根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类。如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行。经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。例：根据距离矩阵（3.4.9）式，用直接聚类法对某地区的九个农业区进行聚类分析,步骤如下:①在距离矩阵D中，除去对角线元素以外，d49=d94=0.51为最小者，故将第4区与第9区并为一类，划去第9行和第9列；②在余下的元素中，除对角线元素以外，d75=d57=0.83为最小者，故将第5区与第7区并为一类，划掉第7行和第7列；③在第二步之后余下的元素之中，除对角线元素以外，d82=d28=0.88为最小者，故将第2区与第8区并为一类，划去第8行和第8列；④在第三步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d43=d34=1.23为最小者，故将第3区与第4区并为一类，划去第4行和第4列，此时，第3、4、9区已归并为一类；⑤在第四步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d21=d12=1.52为最小者，故将第1区与第2区并为一类，划去第2行和第2列，此时，第1、2、8区已归并为一类；⑥在第五步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d65=d56=1.78为最小者，故将第5区与第6区并为一类，划去第6行和第6列，此时，第5、6、7区已归并为一类；⑦在第六步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d31=d13=3.10为最小者，故将第1区与第3区并为一类，划去第3行和第3列，此时，第1、2、3、4、8、9区已归并为一类；⑧在第七步之后余下的元素中，除去对角线元素以外，只有d51=d15=5.86，故将第1区与第5区并为一类，划去第5行和第5列，此时，第1、2、3、4、5、6、7、8、9、区均归并为一类；根据上述步骤，可以作出聚类过程的谱系图（图3.4.1）图3.4.1直接聚类谱系图四、最短距离聚类法•原理：最短距离聚类法，是在原来的m×m距离矩阵的非对角元素中找出，把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（m－1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归为一类为止。例题：以下根据（3.3.9）式中的距离矩阵，用最短距离聚类法对某地区的九个农业区进行聚类分析。),(},min{qpkdddqkpkrk（3.3.10）①在9×9阶距离矩阵D中，非对角元素中最小者是d94=0.51，首先将第4区与第9区并为一类，记为即G10=｛G4，G9｝。按照公式（3.3.10）式分别计算G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8与G10之间的距离得：d1，10=min｛d14，d19｝=min｛2.19，2.62｝=2.19d2，10=min｛d24，d29｝=min｛1.47，1.66｝=1.47d3，10=min｛d34，d39｝=min｛1.23，1.20｝=1.20d5，10=min｛d54，d59｝=min｛4.77，4.84｝=4.77d6，10=min｛d64，d69｝=min｛2.99，3.06｝=2.99d7，10=min｛d74，d79｝=min｛4.06，3.32｝=3.32d8，10=min｛d84，d89｝=min｛1.29，1.40｝=1.29②这样就得到G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8，G10上的一个新的8×8阶距离矩阵：029.132.399.277.420.147.119.2003.596.314.524.288.032.1007.183.093.253.579.5078.186.146.472.4064.302.686.5070.210.3052.10108765321108765321GGGGGGGGGGGGGGGG③在上一步骤中所得到的8×8阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d57=0.83，故将G5与G7归并为一类，记为G11，即G11=｛G5，G7｝。按照公式（3.3.10）式计分别算G1，G2，G3，G6，G8，G10与G11之间的距离，可得到一个新的7×7阶距离矩阵：④在第二步所得到的7×7阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d28=0.88，故将G2与G8归并为一类，记为G12，即G12=｛G2，G8｝。再按照公式（3.3.10）式分别计算G1，G3，G6，G10，G11与G12之间的距离，可得到一个新的6×6阶距离矩阵：032.303.507.193.253.579.5029.199.220.147.119.2096.324.288.032.1086.146.472.4070.210.3052.10111086321111086321GGGGGGGGGGGGGG⑤在第三步中所得的6×6阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d6，11=1.07，故将G6与G11归并为一类，记为G13，即G13=｛G6，G11｝=｛G6，（G5，G7）｝。再按照公式（3.3.10）式计算G1，G3，G10，G12与G13之间的距离，可得到一个新的5×5阶距离矩阵：003.529.196.324.232.1032.307.193.279.5099.220.119.2086.172.4010.30121110631121110631GGGGGGGGGGGG⑥在第四步中所得的5×5阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d3，10=1.20，故将G3与G10归并为一类，记为G14，即G14=｛G3，G10｝=｛G3，（G4，G9）｝。再按照公式（3.3.10）式计算G1，G12，G13与G14之间的距离，可得一个新的4×4阶距离矩阵：096.399.286.172.4029.124.232.1020.119.2010.301312103113121031GGGGGGGGGG⑦在第五步所得到的4×4阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d12，14=1.29，故将G12与G14归并为一类，记为G15，即G15=｛G12，G14｝=｛（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。再按照公式（3.3.10）式计算G1，G13与G15之间的距离，可得一个新的3×3阶距离矩阵：099.229.119.2096.372.4032.1014131211413121GGGGGGGG⑧在第六步所得的3×3阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d1，15=1.32，故将G1与G15归并为一类，记为G16，即G16=｛G1，G15｝=｛（G1，（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。再按照公式（3.3.10）式计算G13与G16之间的距离，可得一个新的2×2阶距离矩阵：099.232.1072.401513115131GGGGGG⑨将G13与G16归并为一类。此时，所有分类对象均被归并为一类。综合上述聚类过程，可以作出最短距离聚类谱系图（如图3.4.2所示）。099.2016131613GGGG图3.4.2最短距离聚类谱系图五、最远距离聚类法•最远距离聚类