离散傅立叶变换

第3章离散傅立叶变换DFSDFS的性质DFTDFT的性质圆周卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样有限长序列的傅里叶分析一、四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号ntnenXtx0j0)()(~dtetxTnXtnT00j00)(~1)(频谱特点：离散非周期谱2.连续时间非周期信号deXtxtj)j(21)(dtetxXtj)()j(频谱特点：连续非周期谱3.离散非周期信号deeXeXkxkjjj)(21)([IDTFT][kkekxkxeXj-j][]}[{DTFT)(频谱特点：周期为2的连续谱4.周期为N的离散周期信号mkNNmmkNNmWmXNemXNmXkx102j10][~1][~1]}[~{IDFS][~kmNNkmkNNkWkxekxkxmX102j-10][~][~]}[{DFS][~频谱特点：周期为N的离散谱为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。)(~)(~kNnxnx离散傅里叶级数（DFS）nNjene/21)(knNjkene/2)(周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：knNjnNkNjee/2)(/2但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即因此)()(nenekNk将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和10/2)(~1)(~NKknNjekXNnx)(~kXrnNje)/2(1010)(2101010)(22)(~1)(~1)(~NkNnnrkNjNnNnNknrkNjrnNjekXNekXNenx]111)[(~10/)(2)(2NkNrkjrkjeeNkXrksNrkeNNnnrkNj01110))(2(上式中[]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有或写为1)可求N次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3）为周期序列，周期为N。)(~)(~102rXenxNnrnNj10)(~)(~102NkenxkXNnknNj)(~kX)(~kX)(~kX)(~)(~)(~)(~10/210)(/2kXenxenxmNkXNnknNjNnnmNkNj•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记，)(~)(~nxkX10/2)(~)](~[)(~NnknNjenxnxDFSkX10/2)(~1)](~[)(~NnnkNjekXNkXIDFSnxNjNeW/2DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。1010)(~)(~1)(~)(~)(~)(~NkknNNnknNkXIDFSWkXNnxnxDFSWnxkX则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。DDFS的几个主要特性：假设都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：1）线性a,b为任意常数)(~)(~nynx、)(~)(~)(~)(~nyDFSkYnxDFSkX)(~)(~)(~)(~kYbkXanybnxaDFS2）序列移位证因为及都是以N为周期的函数，所以有)(~)(~)(~)(~nxwlkXIDFSkXwmnxDFSnlNmkN)(~nxknNw101)(~)(~)(~NnmNmikmNkiNknNwwixwmnxmnxDFS)(~)(~)(~101kXwwixwwixwmkNNikiNmkNmNmikiNmkN由于与对称的特点，同样可证明)(~nx)(~kX)(~)(~nxwlkXIDFSnlN3）共轭对称性对于复序列其共轭序列满足nx~nx*~kXnx**~~DFSkXWnxWnxnxNnnkNNnnkN*10*10**~))(~()(~~DFS证:kXnx**~~DFS同理:进一步可得)](~)(~[21]~~[DFS21}~Re{DFS**kNXkXnxnxnx)](~)(~[21~~ReDFS*ekNXkXkXnx共轭偶对称分量)](~)(~[21~~ImDFS*okNXkXkXnxj共轭奇对称分量4）周期卷积若则或)(~)(~)(~kYkXkF10)(~)(~)(~)(~NmmnymxkFIDFSnf10)(~)(~Nmmnxmy周期卷积证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即m=0~N-1），称为周期卷积。例：、，周期为N=7,宽度分别为4和3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为N。10)(~)(~1)(~)(~)(~NkknNwkYkXNkYkXIDFSnf1010)(~)(~1NkNmnkNmkNwkYwmxN101010)()(~)(~)(~1)(~NmNmNkkmnNmnymxwkYNmx)(~nx)(~ny)(~)(~)(~nynxnf1010)(~)(~1)(~)(~1)](~[)(~NlNllYlkXNlkYlXNnfDFSkF由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若则我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：nNnnxnx其余010)()()(~nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)(~)()()(~离散傅里叶变换（DFT）周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：RN（n）为矩形序列。符号（（n））N是余数运算表达式，表示n对N求余数。)(~nx)(~nx)(~nx)(~)()()(~主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx)())(()()(~)())(()(~nRnxnRnxnxnxnxNNNN)(~nx)(nx例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-2对N的余数。因此)(~nx6))2((68)1(23))11((3811188nn)6()2(~),3()11(~xxxx频域上的主值区间与主值序列：周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：)(~nx)(~kX10NkNNkXkXkRkXkX))(()(~)()(~)(10)(~)](~[)(~10NkWnxnxDFSkXNnkn10)(~1)](~[)(~10NnWkXNkXIDFSnxNnkn再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。10)(1)]([)(10)()]([)(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN1.线性][DFT][DFT][][DFT2121kxbkxakbxkax需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT2.循环位移(Circularshiftofasequence)][])[(][kRnkxkyNN循环位移定义为离散傅里叶变换的性质x[k],N=501234])[(Nkx-5-4-3-2-10123456789])2[(5kx-5-4-3-2-1012345678955])2[(Rkx0123415432k=0k==2k=1k=4k=3][~]}[~{DFSmXWnkxmnN][][])[(DFTmXWkRnkxmnNNN][~]}[~{lmXkxWDFSlkN][])[(][DFTmRlmXkxWNNlkNDFT频域循环位移特性DFT时域循环位移特性3.对称性(symmetry)周期共轭对称(Periodicconjugatesymmetry)定义为周期共轭反对称(Periodicconjugateantisymmetry)定义为][*][])[(*][kNxkRkxkxNN][*][])[(*][kNxkRkxkxNN当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足][][kNxkx当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足][][kNxkx对称特性][~]}[~{DFSmXkx][~]}[~{DFSmXkx][~]}[])[({mXkRkxDFTNN][])[(]}[{DFTmRmXkxNN当x[k]是实序列时][])[(][kRmXmXNN4.循环卷积定义][1kxN][2kx][])[(])[(2110kRnkxnxNNNNnx[k],N=401231234h[k]0123101231012310123101231x[k]4h[k]01234123h[(n)N]h[(1n)N]h[(2n)N]h[(3n)N]卷积定理][][][][DFT2121mXmXkxNkx][][1][][DFT2121mXNmXNkxkx序列DFT与z变换的关系Re(z)jIm(z)N2mN20z平面)1(2NN单位圆-11j-jmNjezmNjkNkezzkxzXmX22|][)(][10kmNNkekx2j-10][x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样设序列x[k]的长度为NkNkzkxzX