离散卷积和与系统模拟

1卷积和求解系统零状态响应yf[k]推导][][khk][][nkhnk][][][][nkhnfnknf由时不变特性由均匀特性由叠加特性][][]}[][{nkhnfnknfTnn][*][][][][khkfnkhnfkynf2卷积和的计算与性质图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质交换律结合律分配律位移特性差分与求和特性3一.图解法计算卷积和计算步骤:1)将f[k]、h[k]中的自变量由k改为n；2)把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[n]；3)把h[n]平移k，k是参变量。k0右移，k0左移；4)将f[n]与h[kn]重叠部分相乘；5)对乘积后的图形求和。][][][][nkhnfkhkfn卷积和定义为4例已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0a1,计算y[k]=f[k]*h[k]10kh[k]n或h[n]f[k]0k1n或f[n]0n1h[-n]5k0,f[n]与h[k-n]图形没有相遇01nf[n]h[k-n],k0k01nf[n]kh[k-n],0k0k1y[k]k0,f[n]与h[k-n]图形相遇y[k]=0nkknaky0][6otherwise0101][NkkRN例计算y[k]=RN[k]*RN[k]。knN-101RN[k]或RN[k]n-(N-1)01RN[-n]•k0时,RN[n]与RN[k-n]图形没有相遇y[k]=0nN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],kk07nN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k10NkN-101kRN[k]*RN[k]2N-2N234123•0kN1时,重合区间为[0，k]11][0kkykn•N1k2N2时,重合区间为[(N1)+k，N1]kNkyNNkn121][1)1(•k2N2时,RN[n]与RN[k-n]图形不再相遇y[k]=0nN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k221NkN8二.列表法计算序列卷积和设f[k]和h[k]都是因果序列，则有0],[][][][0knkhnfkhkfn当k=0时，]0[]0[]0[hfy当k=1时，当k=2时，当k=3时，]0[]1[]1[]0[]1[hfhfy]0[]2[]1[]1[]2[]0[]2[hfhfhfy]0[]3[]1[]2[]2[]1[]3[]0[]3[hfhfhfhfy以上求解过程可以归纳成列表法。9列表法f[0]f[1]f[3]f[2]h[0]h[1]h[3]h[2]f[0]h[0]f[0]h[1]f[0]h[2]f[0]h[3]f[1]h[0]f[1]h[1]f[1]h[2]f[1]h[3]f[2]h[0]f[2]h[1]f[2]h[2]f[2]h[3]f[3]h[0]f[3]h[1]f[3]h[2]f[3]h[3]将h[k]的值顺序排成一行，将f[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是f[n]h[k-n]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。10例计算与的卷积和。}2,3,0,2,1{][kf}3,2,4,1{][khh[-1]h[1]h[0]h[2]1023102340812204630691423f[-2]f[1]f[0]f[2]f[-1]22846}6,13,14,20,10,10,6,1{][ky11三.卷积和的性质交换律:f[k]h[k]=h[k]f[k]f[k]{h1[k]h2[k]}{f[k]h1[k]}h2[k]f[k]{h1[k]+h2[k]}f[k]h1[k]+f[k]h2[k]结合律:分配律:12卷积和的性质（续）位移特性：][][*][][*][kykhkfkhkf][][*])[(][*][nykhnfnhkfknknknf[k][kn]=f[kn]推论：若f[k]h[k]=y[k]，则f[kn]h[kl]=y[k(n+l)]差分与求和特性：若f[k]h[k]=y[k]13例计算与的卷积和}4,2,0,1{][kf}3,5,4,1{][kh解：]1[4][2]2[][kkkkf利用位移特性][*]}1[4][2]2[{][*][khkkkkhkf]1[4][2]2[khkhkh}12,26,26,15,7,4,1{][*][][khkfky14单位冲激响应表示的系统特性级联系统的单位冲激响应并联系统的单位冲激响应因果系统稳定系统151.级联系统的单位冲激响应h1(t)f(t)x(t)y(t)h2(t))(*)()(1thtftx)(*)(*)()(*)()(212ththtfthtxty根据卷积积分的结合律性质，有)](*)([*)()(*)(*)()(2121ththtfththtftyh(t)16结论:h(t)=h1(t)*h2(t)f(t)y(t)h2(t)f(t)y(t)h1(t)1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。•两个离散时间系统的级联也有同样的结论。h1[k]f[k]x[k]y[k]h2[k]h[k]=h1[k]*h2[k]f[k]y[k]h2[k]f[k]y[k]h1[k]172.并联系统的单位冲激响应h1(t)h2(t)+y(t)f(t)y1(t)y2(t))(*)()(11thtfty)(*)()(22thtfty)(*)()(*)()(21thtfthtfty应用卷积积分的分配律性质，有)]()([*)()(21ththtftyh(t)18结论•并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。•两个离散时间系统的并联也有同样的结论。h(t)=h1(t)+h2(t)f(t)y(t)h1[k]h2[k]+y[k]f[k]y1[k]y2[k]h[k]=h1[k]+h2[k]f[k]y[k]19例1求图示系统的冲激响应。其中h1(t)=e3tu(t)，h2(t)=(t1)，h3(t)=u(t)。h1(t)f(t)y(t)h2(t)h3(t)+解：子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。)()(*)()(321thththth)()(*)1(3tutuett)()1()1(3tutuet20例2求图示系统的单位脉冲响应。其中h1[k]=2ku[k]，h2[k]=[k1]，h3[k]=3ku[k]，h4[k]=u[k]。h2[k]f[k]y[k]h3[k]h1[k]+h4[k]解：子系统h2[k]与h3[k]级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k]h3[k]级联支路并联，再与h4[k]级联。全通支路满足][][*][][kfkhkfky全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列[k]{}][][][][][][4321khkhkhkkhkh]1[]5.0)3(5.1[][)2(21kukukk213.因果系统•定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。•因果系统的充分必要条件因果连续时间LTI系统的单位冲激响应必须满足0,0)(tth因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足0,0][kkh一个因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零。22例3判断下述系统是否是因果系统。)0,(21MM输入输出关系为:][11][2121nkfMMkyMMn解：系统的单位脉冲响应为][11][2121nkMMkhMMn即其它0)1/(1][1221MkMMMkh显然，只有当M2=0时，才满足h[k]=0,k0的充要条件。即当M2=0时，系统是因果的。234.稳定系统•定义：若连续系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。•稳定系统的充分必要条件连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是Shd)(离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是Skhk][24例4判断例3系统是否稳定。解：由例3可知，系统的单位脉冲响应为其它0)1/(1][1221MkMMMkh111][2112kMMkMMkh由离散时间LTI系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。对h[k]求和，可得25例5已知一因果LTI系统的单位冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。解：由于ded)(0ah0e1aa当a0时，ah1d)(系统稳定当a0时，d)(h系统不稳定26连续时间系统的时域模拟27到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分、模拟图用基本单元法二、线性系统的模拟方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt①加法器:)()(sYyt28②标量乘法器:)()(sXxta)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty③乘法器：)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()(sYyt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt4延时器：)(tx)(ty)()(txty29初始条件为零的积分器时域形式tdxty0)()(复频域形式)(1)(sXssY)(tx)(tys1)(sX)(sY初始条件不为零的积分器)(tx)0(y)(tytdxyty0)()0()(s1sy)0()(sX)(sYssXsysY)()0()(530、一阶微分方程的模拟2)()()('0txtyaty)()()('0tyatxty)(tx0a)(ty)('ty条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始0a)(sXs1)(sY)(ssY31、二阶系统的模拟3)()()(')(''01txtyatyaty)()(')()(''01tyatyatxty0a1a)(tx)(''ty)('ty)(ty阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟n32)()()()()(40101txbtxbtyatyatyx导数的二阶系统的模拟、含有)()()(2)()()()()(1)(),(0101tqbtqbtytytxtqatqatqtqtq）式满足（则）（满足方程使引入一辅助函数方程即可证明代入原、将)2()1(称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接)(tx1a0a1b0b)(ty)(tq)(tq)(tq33作业P99-2.13P100-2.18，19