电磁学综合题(二)―― 洛仑兹力教案

1电磁学综合题（二）——洛仑兹力教案北京蔡雨翔2012.041.图14所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点Ｏ．Ｏ点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍．已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力．（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径；（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；（3）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变．若从Ｏ点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度已减小为2v，求该粒子第一次回到Ｏ点经历的时间．1解：（1）带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得：rmBq2………………………………………………………………………2分Bqmr……………………………………………………………………………1分（2）设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹角为，则sin,22xrx是粒子在磁场中轨迹的两端点的直线距离．x最大值为2R，对应的就是最大值．且2R=r所以maxmax1sin,60.22Rr…………………3分（3）当粒子的速度减小为2v时，在磁场中作匀速圆周运动的半径为RqBmvr21………………………………………………………1分故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为90时与边界相撞弹回，由对称性知粒子经过四个这样的过程后第一次回到Ｏ点，亦即经历时间为一个周期．……………1分粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期BqmT2．所以从O点沿x轴正方向射出的粒子第一次回到O点经历的时间是Bqmt2…………………………1分0yx图1422.电视机显像管中需要用变化的磁场来控制电子束的偏转。图20甲为显像管工作原理示意图，阴极K发射的电子束（初速不计）经电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面（以垂直圆面向里为正方向），磁场区的中心为O，半径为r，荧光屏MN到磁场区中心O的距离为L。当不加磁场时，电子束将通过O点垂直打到屏幕的中心P点。当磁场的磁感应强度随时间按图20乙所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为23L的亮线。由于电子通过磁场区的时间很短，可以认为在每个电子通过磁场区的过程中磁感应强度不变。已知电子的电荷量为e，质量为m，不计电子之间的相互作用及所受的重力。求：（1）电子打到荧光屏上时速度的大小；（2）磁场磁感应强度的最大值B0。2解：（1）电子打到荧光屏上时速度的大小等于它飞出加速电场时的速度大小，设为v，由动能定理eU=21mv2（1分）解得meUv2（2分）（2）当交变磁感应强度为峰值B0时，电子束有最大偏转，在荧光屏上打在Q点，PQ＝3L。电子运动轨迹如答图3所示，设此时的偏转角度为θ，由几何关系可知，tanθ=3L/L，θ=60º（1分）根据几何关系，电子束在磁场中运动路径所对的圆心角α=θ，而tan2=Rr（1分）由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得evB0=mv2/R（1分）解得B0=ermeU36（2分）甲KPLUBrOMN乙OtBB0-B0图20T2T3T4TO1Ovθα答图3KPLUBrRMNQ33．坐标原点O处有一点状的放射源，它向xoy平面内的x轴上方各个方向发射粒子，粒子的速度大小都是v0，在0yd的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为qdmvE2320，其中q与m分别为粒子的电量和质量；在dyd2的区域内分布有垂直于xoy平面的匀强磁场。ab为一块很大的平面感光板，放置于dy2处，如图所示。观察发现此时恰．无粒子打到ab板上。（不考虑a粒子的重力）（1）求粒子刚进人磁场时的动能；（2）求磁感应强度B的大小；（3）将ab板平移到什么位置时所有粒子均能打到板上?并求出此时口ab板上被粒子打中的区域的长度。3解：（1）根据动能定理：2022121mvmvEqdt可得末动能2020222121mvmvEqdmvt（6分）（2）根据上题结果可知02vvt（1分），对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方向夹角3（1分），其在电场中沿x方向的位移dmEqdvtvx3322001（2分），易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，可得其圆周运动的半径dr32（2）又根据洛伦兹力提供向心力rmvBqvtt2可得qdmvqdmvBt0323（2分）（3）易知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上。其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切。由图可知此时磁场宽度为1/2r,即31d，即当ab板位于dy34的位置时，恰好所有粒子均能打到板上；4ab板上被打中区域的长度ddrxL3233421（8分35．4．（16分）光滑绝缘水平面上有甲、乙、丙三个很小的金属球，质量均为m，甲不带电，乙带电量为+q，丙带电量为+12q．如图所示，空间存在半径为R，垂直于水平面的两匀强有界磁场．磁场区域半径00mvRqB，以磁场圆心为坐标原点建立坐标系，y轴左侧磁场向上，右侧向下，磁感应强度大小分别为B0和4B0．若t=0时刻，甲从B点以速率v0沿着+x轴方向射出，同时，乙在第二象限内磁场内也以速率v0从某点E射出，两小球恰好在坐标原点O处相碰．碰撞瞬间能量无任何损失，且甲、乙发生速度互换．已知碰后甲速度与+x轴夹角为3，而乙速度沿+x轴方向．且碰后，甲、乙两球带电量均变为+12q．阻力及小球间的静电力忽略不计．注意：下面求解的位置坐标，都要化简为关于磁场区域半径R的表达式．（1）试求乙在左侧磁场中圆周运动圆弧EO的圆心O1，坐标（x1、y1）；（2）若甲、乙相碰在O点时，丙从磁场边界ADC半圆弧上某点F，以速率v0射入磁场，要使丙射出后用最短的时间和乙在某点G处相碰撞，试求出G点坐标（x2、y2）；（3）若甲、乙相碰在O点时，丙从第一象限内磁场中的某点H，以速率v0射出后，恰好能在（2）问中的G点和乙球相碰，碰撞瞬间，乙、丙速度互换，此后乙又和甲在某点I发生了碰撞．试求I点坐标（x3、y3）．4解：565.（16分）如下图所示直角坐标系第一象限内，在y=2l与y=0区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，从直线lx2到Y轴区域存在大小相等的匀强电场，x轴上、下方电场强度方向相反。现有带电量为q、质量为m（重力可忽略不计）的粒子以速度V0从m（-ll,2）点沿x轴正向射入电场，在N（0，l）点离开电场进入磁场，求：（1）粒子带何种电荷；（2）电场强度多大；（3）要使粒子最终进入X0区域，磁感应强度大小应满足什么条件。5解：（1）粒子带正电。…………2分（2）粒子在电场中做类平抛运动，由对称性得[来源:高考资源网]X方向tVl02①…………2分Y方向2)2(21tal②…………2分mqEa③联立①、②、③解得qlmVE202④（3）粒子在磁场中做圆周运动rmVqBV200⑤…………2分要使粒子最终进入0X区域，则lr⑥…………2分7联立式解得qlmVB0⑦…………6.如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波电压，t=0时A板比B板的电势高。电压的正向值为U0，反向值也为U0，现有由质量为m电量为+q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板中轴OO＇线的速度v0=mdTqU30不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。试求：（1）粒子射出电场时位置离中轴线OO＇的距离范围（2）粒子射出电场时的速度（3）若要使射出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大？6解：（21分）解：（1）当粒子由tnT时刻进入电场，向下侧移最大，则221)3(21332)32(21TaTTaTasmdqUa0解得mdTqUs187201（3分）当粒子由32TnTt时刻进入电场，向上侧移最大，则22321Tas解得mdTqUs18202（3分）所以，在距离O/中点下方mdTqU18720至上方mdTqU1820范围内有粒子打出。(2分)甲乙8（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为3Tavy(2分)所以打出速度大小为220yvvv解得mdTqUv320(2分)设速度方向与v0的夹角为θ，则00451tanvvy(2分)（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，粒子宽度45cos21ssD(3分)故磁场区域的最小半径为mdTqUDr92220(1分)粒子在磁场中作圆周运动rvmqvB2(1分)解得qTmB3(2分)7.（8分）如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力，求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。7解：（1）由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得evB=mv2/R…（2分）解得R=mveB…………（1分）（2）设电子做匀速圆周运动的周期为T，则T=2Rv=2meB…………（1分）由如图所示的几何关系得圆心角α=θ…………（1分）所以t=2T=meB…………（1分）（3）由如图所示几何关系可知，tan2=r/R…………（1分）9所以r=tan2mveB…………（1分）8．如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy,沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.5T。在原点O放一个开有小孔粒子源，粒子源能同时放出比荷为q/m=4.0×106kg/C的不同速率的正离子束，沿与x轴成30o角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮。入射正离子束的速率在0到最大值vm=2.0×106m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力。（1）求离子打到荧光屏上的范围。（2）若在某时刻(设为t=0时刻)沿与x轴成30o角方向射入各种速率的正离子，求经过71035s时这些离子所在位置构成的曲线方程。（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30o～60o角内进入磁场。则某时刻(设为t=0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，求经过71035s时这些离子可能出现的区域面积。8解：（1）离子在磁场中运动最大轨道半径：rm=1m………由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如图，所以OA1长度为：02cos303yrm……即离子打到荧光屏上的范围为：0,3m……（2）离子在磁场中运动的周期为：6210smTqB经过时间：t=71035s离子转过的圆心角为23tT设71035s这个时刻某离子的位置坐标为(x,y)0cos30yr0sin30xrr所以：3yx就是所求的曲线方程××××××××O0.5x/my/m30o8题图v××××××××××O0.5x/my/m30oO1C1A1,1mmmvmvrrmqBqB2mvqvBr10（3）由几何关系知，与x轴成60o方向入射的离子，经过时间：t=71035s离子转过的圆心角为23tT刚好打在y轴上，将t=71035s时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：x=0即都打在y轴上所以在t=0时刻与x轴成30o～60o内进入磁场的正离子在t=71035s时刻全部出现在以O为圆心的扇形OA2C1范围内。如图则离子可能出现的区