第四章 常用概率分布

卫生统计学（第五版）潘发明流行病与卫生统计学系一、正态分布的概念第四章常用概率分布第一节正态分布正态分布是自然界最常见的一种分布，若指标X的频率分布曲线对应于数学上的正态分布曲线，则称该指标服从正态分布。正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为-∞＜X＜+∞均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准正态分布。-∞＜Z＜+∞标准正态分布的密度函数：为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换，(教材57)XZ（二）、正态分布的特征1.关于对称。即正态分布以均数为中心，左右对称。2.在处取得概率密度函数的最大值，在处有拐点，表现为钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。3.正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。常用N(µ,σ2)表示均数为μ，标准差为σ的正态分布；用N(0,1)表示标准正态分布。4.正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于100%或1。二、正态曲线下面积的分布规律正态方程的积分式(分布函数)：F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累计面积。标准正态分布方程积分式(分布函数)：Φ(Z)为标准正态变量z的累计分布函数，反映标准正态曲线下，横轴尺度自－∞到Z的面积，即下侧累计面积。Z在实际工作中为了方便用查表代替计算（教材432页）1）表中曲线下面积为－∞到Z的面积。2）当µ,σ和X已知时，先求出Z值，再用Z值查表，得所求区间占总面积的比例。当µ和σ未知时，要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。3）曲线下对称于0的区间，面积相等。4）曲线下横轴上的面积为100%或1。XZSXXZ三、标准正态分布表正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均数位置，理论上：µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27%µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95%µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99%实际应用中：±1S范围内曲线下的面积占总面积的68.27%±1.96S范围内曲线下的面积占总面积的95%±2.58S范围内曲线下的面积占总面积的99%标准正态分布的µ=0，σ=1，则µ±σ相当于区间(-1，1)，µ±1.96σ相当于区间(-1.96，1.96),µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58，2.58)。区间(-1,1)的面积：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%区间(-1.96,1.96)的面积：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95%区间(-2.58,2.58)的面积：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%正态曲线下面积对称，则区间（1.96，∞）的面积也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率为1-2×0.025=0.95，即X取值在区间上的概率为95%。例4-10X服从均数为，标准差为的正态分布，，试估计（1）X取值在区间上的概率；（2）X取值在区间上的概率；先做标准化变化:例4-11已知某地1986年120名8岁男童身高均数，S=4.79cm，估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？先做标准化变化:理论上该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。（2）（3）查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在区间内，即116.9cm~129.2cmS28.1X（一）制定医学参考值范围参考值范围：指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化、免疫等各种数据的波动范围。制定参考值范围的步骤：1.选择足够数量的正常人作为调查对象。2.样本含量足够大。3.确定取单侧还是取双侧正常值范围。4.选择适当的百分界限。5.选择适当的方法。四、正态分布的应用估计医学参考值范围的方法：1.正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。2.百分位数法：适用于偏态分布资料。过低异常过低异常过高异常过高异常例4-12某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L，试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正常值范围。该指标的95%医学参考值范围为例3.6某地调查110名正常成年男子的第一秒肺通气量，得均数为4.2L，标准差为0.7L，试估计该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为：不低于3.052L。分析：正常人的第一秒肺通气量近似正态分布，且只以过低为异常，要制定单侧下限。例3某年某市调查了200例正常成人血铅含量（μg/100g)如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。二、质量控制为了控制实验中的检测误差，常用±2S作上下警戒线，以±3S作为上下控制线。这里的2S和3S可视为1.96S和2.58S的约数。其依据是正常情况下检测误差是服从正态分布的。但影响某一指标的随机因素很多，如果该指标的随机波动属于随机误差，则往往符合正态分布，如果不服从正态分布，则有可能存在系统误差7条线分别表示的意义第三节正态分布及其应用判断异常的8种情况是：有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外）在中心线的一侧连续有9个点连续6个点稳定地增加或减少连续14个点交替上下连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限以外）第三节正态分布及其应用连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都在1个标准差以内中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。三、统计处理方法的理论基础如统计描述中计算算术平均数、标准差、统计推断中进行总体均数置信区间估计、t检验、F检验、相关与回归等分析（一）成败型实验（Bernoulli实验）在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二项分类实验。第二节二项分布（教材48页和60页）一、二项分布的概念与特征成-败型（Bernoulli）实验序列：满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成-败型实验序列。1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一（A或非A）。2)相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率π。（非A的概率为1-π）。实际工作中要求π是从大量观察中获得的较稳定的数值。3)各次实验独立。各次的实验结果互不影响。（二）二项分布的概率函数二项分布是指在只能产生两种可能结果（如“阳性”或“阴性”）之一的n次独立重复实验中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0,1,2,…,n的一种概率分布。若从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作B(X;n,π)或B(n,π)。举例设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为，相应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，则死亡鼠数为X的概率分布即表现为二项分布。独立事件的乘法定理互不相容事件的加法定理构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现的次数X的概率分布为：XnXXnCXP1其中X=0，1，2…，n。n，π是二项分布的两个参数。对于任何二项分布，总有例4-2临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%，现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？分析：治疗结果为有限和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合二项分布的条件。2例有效的概率是0.432一例以上有效的概率为：或（三）二项分布的特征1.二项分布的图形特征n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于n，π。可以看出，当π=0.5时分布对称，近似对称分布。当π≠0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时，π偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着n的增大，分布逐渐逼近正态。因此，π或1-π不太小，而n足够大，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。2.二项分布的均数和标准差对于任何一个二项分布B(X;n,π)，如果每次试验出现“阳性”结果的概率均为π，则在n次独立重复实验中，出现阳性次数X的总体均数为方差为标准差为n12n1n例实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数=3×0.6=1.8（只）方差为标准差为如果以率表示，将阳性结果的频率记为，则P的总体均数总体方差为总体标准差为式中是频率p的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。pnp12np1例4-4如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地150人,样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差。二、二项分布的应用（一）概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大?(二)单侧累计概率计算二项分布出现阳性次数至少为K次的概率为阳性次数至多为K次的概率为XnXnkxnkxXnXnXPKXP1!!!XnXkxkxXnXnXPKXP1!!!00例4-6如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少有2人感染钩虫的概率有多大?至少有20人感染钩虫的概率有多大?至多有2名感染的概率为:至少有2名感染的概率为:至少有20名感染的概率为:第二节Poisson分布的概念与特征一、Poisson分布的概念Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。Poisson分布也可用于研究单位时间内(或单位空间、容积内)某罕见事件发生次数的分布，如分析在单位面积或容积内细菌数的分布，在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布等。Poisson分布一般记作。Poisson分布可以看作是发生的概率π很小，而观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0和1。有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、空间、容积、面积)内某种稀有事件的发生数X等来表示，如每毫升水中大肠杆菌数，每个观察单位中粉尘的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以近似看为Poisson分布。Poisson分布作为二项分布的一种极限情况二、Poisson分布的特征1.Poisson分布的概率函数为:式中为Poisson分布的总体均数，X为观察单位时间内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。!)(XeXPX如某地20年间共出生短肢畸形儿10名，平均每年0.5名。就可用代入Poisson分布的概率函数来估计该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为0，1，2…的概率P(X)。2.Poisson分布的特性：（1）Poisson分布的的总体均数与总体方差相等，均为。（2）Poisson