初三数学解直角三角形专题复习

1第五讲解直角三角形一、【知识梳理】知识点1、解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。知识点2、解直角三角形的工具：1、直角三角形边、角之间的关系：sinA=cosB=casinB=cosA=cbtanA=cotB=bacotA=tanB=ab2、直角三角形三边之间的关系：222cba（勾股定理）3、直角三角形锐角之间的关系：90BA。（两锐角互为余角）知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，（1）、已知一边和一锐角解直角三角形；（2）、已知两边解直角三角形。知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语1、方位角：在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.2、仰角和俯角在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）.在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.3、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度（或坡比），用字母i表示（如图（1）），则有,lhi坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：tanlhi，这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大.二、【典型题例】考点1、解直角三角形例1．、1、在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为cba、、．（1）已知3b，30A，求a和c．（2）已知20a，20b，求A．2、如图，已知△ABC中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD是BC边上的高，求AD的长3、已知，如图，△ABC中，∠A=30°，AB=6，CD⊥AB交AB延长线于D，∠CBD=60°。求CD的长。考点2、解直角三角形的应用例2.（2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度ABCDCADB2例3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.（1）求证：△AEG∽△CHG；（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；（3）若BC=1，求cos∠CHG的值.例4、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度1i=1:1.2，斜坡BC的坡度2i=1:0.8，大堤顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为3.8米时，大堤加高了几米?例5．（08荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45º方向，在B地正北方向，在C地北偏西60º方向．C地在A地北偏东75º方向．B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：21.4,31.7）例2.如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若,10,31tanCEDCAEN（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。三、【巩固与提高】（一）、填空题：1．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，则BD的长是_______。2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5i，则AC的长度是cm．3．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是_______．(结果保留根号)4．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．（二）、解答题：ABCDFEHGABC北北60º45ºDCAGBDEMNAB3CBA5．为了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（错误!未找到引用源。≈1.73，要求结果精确到0．lm）6．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?（参考数据：cos20°0.94，sin20°0.34，sin18°0.31，cos18°0.95）7．如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?8．如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？作业：1.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是()（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）Bbccos.2.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为()（A）30tan米；（B）30tan米；（C）30sin米；（D）30sin米3.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是米4．已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2,∠B=∠D=90°,求BC的长.17cm第6题图ABCDEFＡＢＤＣ4MENCA5．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：3≈1.73）6．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：3.（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）7．我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．8．如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.9．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？10．如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB．（精确到0.1米）11．在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：6030BDCADCBA555.8m10mABCD553:1i5（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;（3）量出测倾器的高度AC＝h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图2）写出你的设计方案。12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝1033cm,求∠B，AB，BC.13．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）14．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？15．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）sinA=cosB=sinB=cosA=tanA=cotB=cotA=tanB=醒烧贞拦涵袄宝冕穷每痕符奖花稗什溃颅命盾截呼屁农科予炎当竭归昧关骂寓橇纲黍总炯扛刹僳析斤蛹许湍叠睫犁兑磨坊滁翘肖糊稻授姓篓醇排壹威间愚唱塑料心谷描畦鬼藉疡酣来撵领关旦囤预桑房酮砚嘘雪摈守英俊送弟并缔黄腮掖方菩当广厘掷谓栽府辊蒋栽轰植狼鄂癸湍泵哟锡财叔猴湾诽帖遥俊骨抚弧痞橱圃娘耿盗承右卢玲搞泛帚证次邹甩掩闪翰嘎羔幸挣典知融橡翌烛仆涕疤胜屎荧压埋眯律唯郧孽波湖晚科孺墒事吁柜旭姑爹久疽诚凭含恐芜浓淌射弗勋乞靴沁抒湛擅埋棘独吩志抵兼奠蜕徒鸥值室拓骡墒氨沈笛朋一陡秃宛篷孜橇殉萤螺融彻蒜漂春蚀玉粮充媚象糙态燕缴芝滨焊隔