用matlab计算微积分

Matlab符号运算特点符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数值解（封闭解不存在时）。在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。符号对象与符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。1.符号对象和表达式Sym和Syms函数基本格式:Sym(数字);sym(‘变量或者表达式’）实验1：（1）a=sqrt(5)（2）a=sym(5)b=sqrt(a)实验2：（1）x=sym(‘x’)（2）a=sym(‘x*2+1’)注意:对于多个符号变量的建立,可使用’sym’,’syms’命令建立。实验3：定义方程x+y+z=1中的变量为符号变量（1）x=sym(‘x’)y=sym(‘y’)z=sym(‘z’)（2）symsxyz查找符号表达式中的符号变量查找符号变量findsym(expr)按字母顺序列出符号表达式expr中的所有符号变量findsym(expr,N)列出expr中离x最近的N个符号变量常量pi,i,j不作为符号变量例：f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')findsym(f)f=sym(f,2)findsym举例符号表达式的替换subs(f,x,a)用a替换字符函数f中的字符变量xa是可以是数/数值变量/表达式或字符变量/表达式若x是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵，则a应该具有与x相同的形状的数组或矩阵。用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量subs举例f=sym('2*u');subs(f,'u',2)f2=subs(f,'u','u+2')ans=4f2=2*(u+2)例：指出下面各条语句的输出结果f=2*u六类常见符号运算因式分解、展开、合并、简化及通分等计算极限计算导数计算积分符号求和代数方程和微分方程求解因式分解因式分解factor(f)symsx;f=x^6+1;factor(f)factor也可用于正整数的分解s=factor(100)factor(sym('12345678901234567890'))大整数的分解要转化成符号常量函数展开函数展开expand(f)symsx;f=(x+1)^6;expand(f)多项式展开三角函数展开symsxy;f=sin(x+y);expand(f)合并同类项合并同类项collect(f,v):按指定变量v进行合并collect(f):按默认变量进行合并symsxy;f=x^2*y+y*x-x^2+2*x;collect(f)collect(f,y)函数简化函数简化y=simple(f):对f尝试多种不同的算法进行简化，返回其中最简短的形式函数简化函数简化y=simplify(f):对f进行简化symsx;f=sin(x)^2+cos(x)^2;simplify(f)函数简化举例symsx;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);y1=simplify(f)g1=simple(f)g2=simple(g1)多次使用simple可以达到最简表达。32381261)(xxxxf例：简化分式通分函数简化[N,D]=numden(f):N为通分后的分子，D为通分后的分母symsxy;f=x/y+y/x;[N,D]=numden(f)2.极限问题2.1单变量函数的极限调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,‘right’)或limit(f,x,a,'left'))0(sin)1(lim1axbxaxxx求极限例解：bxbxbaxaaxx).sin.(]))(11[(lim原式abexbxaxxxsin)1(lim1求极限例symsxab;f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)xxexxsincos11lim230求极限例symsx;f=(exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x))));L=limit(f,x,0,'right')2.2多变量函数的极限),(lim00yxfLyyxx调用格式为：L=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或L=limit(limit(f,y,y0),x,x0)2222)11(sinlim32221/1yaxyxyyxyxxe求极限例symsxya;f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)3.不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。例4求不定积分dxxx42解：dxxx21原式)1(12122xdx232)1.(32.21xcx232)1(31例4求不定积分dxxx42symsxf=sqrt(x^2+x^4);int(f,x)例5求不定积分dzzxy)sin(symsxyzint(sin(x*y+z),z)在MATLAB中，求定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x,a,b)int函数求函数f对变量x的定分,a,b积分区间。4.定积分symsx;int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)例6求积分dx,x2x31dx,x2x312102dxxxxtet2cos222)132(127求定积分例symsxt;f=(-2*x^2-3*x+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;int(f,x,cos(t),exp(-2*t))5.导数MATLAB中的一元函数求导：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。)4(2,34sin8yxxxy试求出函数例symsx;y=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=diff(y,x,4)pretty(y1)例9在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。symsx;y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4MATLAB中的二元函数求导：diff(diff(f,x,m),y,n)diff(diff(f,y,n),y,m)yxzxzexxzxyyx22,,)2(1022计算函数例symsxy;z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);diff(z,x)diff(diff(z,x),y)zyxzyxfeyxzyxfzyx242),,(,)sin(),,(1122计算例symsxyz;f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);diff(diff(diff(f,x,2),y),z)6.Taylor级数展开单变量函数的Taylor级数展开注1k为需要展开的项数，默认值为6项。。进行泰勒幂级数的展开项，并关于前的泰勒幂级数展开的求函数例2934sin)(122xxxxxfsymsx;f=sin(x)/(x^2+4*x+3);y1=taylor(f,x,9)y2=taylor(f,x,9,2)符号方程求解器s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解；s=solve(f)：求方程关于默认自变量的解。f可以是用字符串表示的方程，或符号表达式；若f中不含等号，则表示解方程f=0。solve例：解方程x^3-3*x+1=0symsx;f=x^3-3*x+1;s=solve(f,x)solve也可以用来解方程组solve(f1,f2,...,fN,v1,v2,...,vN)求解由f1,f2,...,fN确定的方程组关于v1,v2,...,vN的解例：解方程组[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3',...'x^2+3*y^2=28','x','y','z')222273328xyzxzxy输出变量的顺序要书写正确！solve在得不到解析解时，会给出数值解。例：解方程组[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3',...'x^5+3*y^2=28','x','y','z')522273328xyzxzxy