空间向量测试题

空间向量测试题班级姓名成绩一．选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．平行六面体1111DCBAABCD中，E,F,G,H,P,Q是111111,,,,,ADDCCCBCABAA的中点，则A（）A．0PQGHEFB．0PQGHEFC．0PQGHEFD．0PQGHEF2．已知空间三点O(0，0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（）A．(-2,2,0)B．(2,-2,0)C．)0,,(2121D．)0,,(21213．若,,,,,,321321bbbbaaaa则332211bababa是ba//的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则CFAE（）A．0B．21C．43D．215．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(),[0,).|||ABACOPOAABAC则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0ACBD；②60BAC；③三棱锥D—ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④CDBACBADCNMBA1B1C1A7．若1,3,2a,,3,0,2b2,2,0c,则cba=（）A．4B．15C．7D．38．三棱柱111CBAABC中，M、N分别是1BB、AC的中点，设aAB，bAC，cAA1，则NM等于（）A．)(21cbaB．)(21cbaC．)(21caD．)(21bca9．设a={1,2,0},b={1,0,1}，则：“c={32，－31，－32}”是“ca,cb且c为单位向量”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分条件也非必要条件10．下列结论恒成立的是（）①若平面α内两条直线与平面内两条直线分别平行，则α∥②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等④若ACBCAB，则A,B,C三点共线。A．①②B．②③C．③④D．②④11．如图，在平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若aBA11,bDA11,cAA1,则下列向量中与MB1相等的向量是（）A．cba2121B．cba2121C．cba2121D．cba212112．如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E,F,G,H,分别是PA,AC,BC,PD的中点，四边形EFGH的面积为S(x)，则S(x)值域为_________A．｛41｝B．（0,+∞）C．（123,+∞）D．（63,+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知a＝（—4,2,x），b＝(2,1,3),且a⊥b，则x＝。14．向量baba57)3(，baba274，则a和b所夹角是15．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件：DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则D的坐标为16．设ba,是直线，,是平面，ba,，向量1a在a上，向量1b在b上，}0,4,3{},1,1,1{11ba，则,所成二面角中较小的一个的大小为DABA1B1C1D1三、解答题17．(10分)已知向量c,b,a满足0cba,4,2,3cba．求accbba18．（10分）给定⊿ABC，对空间中的一点P，建立如下变换f：AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P′,f(P)=P′,则对于变换f,是否存在不动点（即P与P′重合的点）？19．（10分）如图，正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90°，E、F分别是AB、BC的中点，G是AA1上的点．（1）若AC1⊥EG，试确定点G的位置；（2）在满足条件（1）的情况下，试求cos＜AC，GF＞的值．20．（10分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，垂足为E。建立空间直角坐标系A－xyz，如图。（I）证明BE⊥PD；（II）求异面直线AE与CD所成的角；（III）设n=(1,p,q)，满足n⊥平面PCD，求n的坐标。一、选择题1．A2．C3．A4．D5．B6．B7．D8．D9．B10．D11．A12．C2．解：设.,,1cAAbADaAB以cba,,为基底，则.,,212121baPQcbGHcaEF所以0PQGHEF。选A．3．解：设kbababa332211,易知ba//。即条件具有充分性。又若0b时，0,0,0b，虽有ba//，但条件332211bababa显然不成立，所以条件不具有必然性。4．解：CFAEACADACAB2121==221214141ACACABADACADAB=2121414160cos60cos60cos=21。选D．12．解：当顶点P与底面正⊿ABC重心很接近时，矩形EFGH的面积较小；重合时矩形的面积为.12323322121选C．二、填空题13．214．60°15．（1，1，1）或),,(31313116．.arccos15314．解：由0573baba,0274baba,有baa16720152b，0830722bbaa,解得22ba,bab22,bababa,cos21．15解：设D(x,y,z),则),1,(zyxBD，,1,,zyxCDAD（x-1,y,z）,AC(-1,0,1),AB(-1,1,0),BC(0,-1,1)．又DB⊥AC-x+z=0,DC⊥AB-x+y=0,AD=BC,21222zyx联立解得x=y=z=1或x=y=z=.31所以D点为（1，1，1）或),,(313131。三、答题17．解：,02)(2222accbbacbacba得accbba=.2294232222118．解：由已知，有,21APAQ且,412121APABAQABARAPABACARACPA81412121．要使P′,P重合，应有APABACAP814121，.2471ABACAP．∴符合条件的不动点存在。19．（满分14分）解：（Ⅰ）由正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥CC1．以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C—xyz，如图．（2分）设AC=CB=a，AG=x，则A（0，a，0）．C1（0，0，a），G（0，a，x），E（-2a，2a，0）．AC1=（0，-a，a），EG=（-2a，2a，x）．（4分）∵AC1·EG=0，∴-22a+xa=0．∴x=2a，∴G为AA1的中点．（7分）（Ⅱ）∵G（0，a，2a），F（2a，0，0），∴GF=（2a，-a，-2a），AC1=（0，-a，a）．（9分）∴|GF|=26a，|AC1|=2a，∴GF·AC1=a2-22a=22a．∴cos＜AC1，GF＞=632262211aaaACGFACGF．（14分）20．（本小题满分14分）解：由已知，得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)．……………………2分∵PA⊥面ABCD，PD与面ABCD成30°，∴∠PDA=30°。∴P(0,0,332a)。…………3分过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=21a，EF=23a。∴E(0,21a,23a)………………………………4分（I）BE=（﹣a，21a,23a），PD=(0,2a,，﹣332a)∴BE·PD=21a·2a+23a·(﹣332a)=0∴BE⊥PD。…………6分（II）AE=（0，21a,23a），CD=（﹣a，a，0），∴cosAE,CD=42221||||2aaaCDAECDAE。∴异面直线AE与CD所成的角为arccos42。…………………………10分（III）∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，又n=（1，p,q）,PD=(2,2a,﹣332a),CD=(﹣a,a,0),∴n·PD=0·1+2a·p－323a·q=0，n·CD=1·(﹣a)+a·p+q·0=0，…………………………12分即p－33q=0∴p=1p－1=0q=3，即n的坐标为(1,1,3)。…………………………14分