低通滤波器设计

第11章滤波器设计11.1滤波器的设计基础1.分贝首先，两个功率值可以通过下面的公式（11.1.1）进行比较。比值的单位是贝尔（Bel），是电信领域用来表示功率讯号的增益和衰减的单位。（11.1.1）1个贝尔的增益是电路中放大后与放大前的功率比值（11.1.2）因而使用分贝来表示两个功率,的比值，应)(logB2110贝尔PP分贝贝尔101分贝）(log10dB2110PP1P2P如果，则此环节没有作增益或者衰减，dB＝0。如果，则此环节应作了增益，dB0，分贝值为正。如果，则此环节应作了衰减，dB0，分贝值为负。有一个非常典型的分贝值，往往在扬声器中使用这个功率点。如果两个功率仅是增加1倍的话，也就是，则用分贝表示为同样，也可以使用分贝来表示电压增益。对于纯电阻，功率可以表示为（11.1.4）式中用下标u表示为电压增益，与功率增益区分开来。21PP21PP21PP21PP)(330103.0102log10log10dB102110分贝PP121210log10log20RRUUdB1210log20dBUUu•已知某系统电路的输入信号为2mv，输出电压为1.2V，请用分贝表示电压增益的大小。例1dB56.55600log20mV2V2.1log20log20dB101010iouUU600/0iuUUA如果直接计算电压增益，则有。解：上面的例题可以看出，用分贝（或说对数方式）计算电压增益可以大大增加其变化的范围，这也是这种表示方法在工程上得到广泛应用的原因之一；另外一个显著的特点就是计算多级放大电路的总增益时，可将乘法化为加法进行运算。这是由对数的性质决定的。在后续的课程中，分贝的应用非常普遍。比如在数字信号处理课程以及相关的通信领域都涉及分贝。在电子电路和自动控制系统的分析、设计中幅频特性曲线的纵坐标和横坐标常常采用对数标尺，这种采用对数坐标的曲线图称为波特图。在滤波器的设计中需要学会使用波特图分析信号变化。2滤波器的定义与分类一般来说，滤波器可以分为两类：（1）无源滤波器――电路由R、L、C串联或并联构成；（2）有源滤波器――由有源器件，比如晶体管、运放，结合R、L、C无源器件构成电路网络。•自60年代以来，集成运算放大器获得了迅速的发展。由集成运算放大器和R、C组成的有源滤波电路，具有不用电感、体积小、重量轻等特点。此外，由于集成运算放大器的开环增益和输入阻抗均很高，输出阻抗又低，构成有源滤波电路后还具有一定的电压放大和缓冲作用。不过，因受运算放大器带宽的限制，这类滤波器目前还仅多应用于低频范围。根据频率范围可将其分为低通、高通、带通与带阻等四种滤波器。四种滤波器的衰减特性如下图所示。O/dBja1C2Ck低通O/dBja1c2ck高通O/dBja1c2ckO/dBja1C2Ck带通3C4CO/dBja1C2Ck带阻3C4C3频率和阻抗的归一化滤波器在电子设备中的应用极其广泛，不同的设备对滤波器的要求相差很大，有的要求工作频率高，有的要求工作频率低，负载阻抗也不一样，因此构成滤波器的各元件值的大小就有可能有相当大的差异。为了简化计算，通常先将频率和阻抗（即元件R、L、C的数值）归一化后再进行综合设计，待设计完毕再将计算所得的滤波器的各参数还原成实际数值。归一化的频率等于角频率除以截止频率，即是无量纲的量，对应于截止频率时，。cc1归一化的阻抗等于原阻抗除以基准电阻，即（11.1.10）通过把负载电阻选取为基准电阻，这样各元件的归一化值如下：nZZ0R0RZZnnR0RRRn1nR（1）电阻的归一化值（11.1.11）显然，当电路的（输出）电阻等于负载电阻，归一化值。RL（2）电感归一化值因为一定频率下，电感的阻抗为，所以归一化值为为设计所需要的截止频率，为上述的归一化频率，归一化电感为（11.1.12）（3）电容的归一化值为。一定频率下，电容的阻抗为则归一化后的阻抗为归一化电容为（11.1.13）nLLLjZnccLjRLjRLjRZ000c0RLLcnnCCCjZ1nccCjCRjRZ11000RCCcn11.2.1巴特沃思逼近的概念从信号处理要求出发，一个理想低通滤波器的幅频特性应如下面的右图所示，图中，。11.2有源滤波器)(/)()(12jUjUjHc/)(2SU+LP+)(1SU1c/)(cjHO1该特性曲线表明低通滤波器允许信号中角频率低于的分量毫无衰减地通过，而阻止角频率高于的任何分量，使它们完全不通过，故称为截止（角）频率，而以0到的范围为通带，到的范围为阻带。但是实际上，没有任何一个线性非时变集总电路可以实现这一理想特性。因为线性集总电路的转移函数总是的有理函数，故其模值应是的连续函数，且不可能在任何频带上为常数，除非它在所有频率上均为常数。cc•因此一个实际低通滤波器电路的电压转移函数的幅频特性只能以一定的精度近似于理想特性。设计过程的第一步是要找到一个可实现的电压转移函数，使它的幅度频率响应能满足设计所规定的要求，巴特沃思逼近就是获得符合这种要求的转移函数的方法之一。除此之外，还有切比雪夫逼近，它的优点是如果在给定带内所允许的纹波差，可以改善其波动响应特性。下面的函数是一个阶巴特沃思函数它在时，具有最大值，然后随趋于而趋于零。不同，随的衰减情况也不同。所谓巴特沃思逼近就是找到一个可实现的电压转移函数，当时，有（11.2.1a）或（11.2.1b）满足这一要求的的一般形式为（11.2.2）)(Bnnn2n11)(B0n)(Bn)(sHNjs)(2NnNBjHnNNjH2211＝01111bsbsbssHnnn下图绘出了时的曲线。从图示曲线可见，当时，将趋于理想低通滤波器的幅频响应，这就是说，可以通过选择合适的值，使之在任意精度内近似于理想低通滤波器幅频特性。1NO1.00.80.60.40.2232N)(jH1n3n2n10n1n3n2n10n10,3,2,1nn2jHn确定一个归一化的巴特沃思低通滤波器的例11.2.1首先确定滤波器的阶数。按通带要求，有解：，使其满足下列要求：（1）通带内（2）阻带内)(sH9.05.02jH1.022jHn由此得，故选。于是根据式（11.2.2）和表（11.2.1）可得满足设计要求的转移函数9.05.0115.022njH由此得，按阻带要求有2n1.0)2(11222njH2n2n1414.11)(2sssH11.2.2有源二阶电路频率特性用一阶电路只能实现低通和高通频率特性。带通和带阻特性必须使用二阶（或二阶以上）RLC无源或有源电路来实现。而用有源电路实现的二阶选频电路，可以避免使用电感元件，便于控制或提高Q值，实现传递函数的幅度增益等。下面用例题来说明有源电路对二阶频率特性的实现。(1)先求出传递函数，用节点法列方程下图为含受控源的二阶RC电路，其中受控源代表增益为的运放电路。现在要证明其传递函数为低通特性，然后选择元件使电路的Q＝5，。skrad/501AuRCR2R2C1u2u12例11.2.2从中可解出解：)()(0)(1)(10)()(1)(1)()11(x0x0xsUsUsURsUsCRssCUsURsURsUsCRRasa对比传递函数模型，可知这是一个二阶低通电路，其中。从电路上来看，当时，两个电容相当于开路，，因此，即直流增益为；当时，电容相当于短路，。因此，对无穷大频率增益为0，这是低通幅度频响的特征。22220131)3()()()(RCsRCsRCRCsRCssUsUsHs/1,/10QRC0)()(sUsUsx)()(0sUsUs)0(H0)(,0)(0sUsUx(2)由于，即，取电阻，则，根据得根据前面对二阶低通频响的讨论，可以算出幅频特性有最大值，得因此，幅频曲线有一个5倍于通带增益的谐振峰值。RC10s1024RCkR1020nFC31Q8.213Q03.5)0()2(12maxaQQa（1）在图（a）中，运放与组成一个电阻性同相放大器电路，其增益为，在s域模型中，我们把这部分电路等效为一个受控源，如图（b）所示。对于图（b）电路列出s域节点方程，找出关系。RR2/RsC21sC1sC13ViUoU2U1UcU例11.2.3下图（a）为RC双T运放电路，试证明其关系为带阻滤波器。选择电路元件参数，在输出中抑制频率成分。要求。（a）（b）RCC++R2/R1R1)1(RRfC2iuouiouu~Hzf1004Q解：fRR,1ioUU~从中解出)()(0)(1)()(10)(1)(1)()211(0)()(2)()()2(32133231sUsUsURssCUsUsCRsURsURsUsCRRssCUsURssCUsURsCsCoioi2221)4()1()()(RCsRCsRCssUsUsHio对比二阶带阻传递函数原型，可知其中0,k241,10QRC因此，时，，信号被完全抑制。00)(0H（2）要抑制信号的物理频率，因此要求。取，则。根据Q值要求，，得到。在本电路中，通带增益和值都与有关，在满足Q值要求时，不能独立取值，需要另加放大电路来满足实际增益要求。此外，本电路为三阶电路，但传递函数为二阶，原因是对输出端的传递函数出现零极点相消的特殊情况。这一点可将节点方程中或解出来得到验证。Hzf100s1059.12130fRCkR10nF160CQ124815Qkkou)(1sU)(2sU11.3滤波器的快速设计方法常用的逼近方法有巴特沃思（butterworth）最大平坦响应和切比雪夫（chebysher）波动响应。在不允许带内有波动时，用巴特沃思响应较好。如果给定带内所允许的纹波差，则用切比雪夫响应较好。本节主要介绍具有巴特沃思响应的二阶RC有源滤波器的设计。一阶低通有源滤波器如下图（a），其传递函数为（11.3.2）++1R2RCinuoutuCsRRRsH2121)(（11.3.1）截止角频率为，直流增益为。CR2112RR一阶高通有源滤波器如下图（b），其传递函数为（a）（b）CsRCsRsH221)(++1R2RCinuoutu二阶RC滤波器的传输函数如书中表11.3.1所示。其常用电路有电压控制电压源（VCVS）电路和无限增益多路反馈（MFB）电路。·++iuou1R2R1C3R4RC上图（a）所示电路为压控电压源电路，其中运放为同相输入，输入阻抗很高，输出阻抗很低，滤波器相当于一个电压源，故称电压控制电压源电路。其优点是电路性能稳定、增益容易调节。图（b）所示电路为无限增益多路反馈电路，其中运放为反相输入，输出端通过形成两条反馈支路，故称无限增益多路反馈电路。其优点是电路有倒相作用，使用元件较少，但增益调节对其性能参数会有影响，故应用范围比VCVS电路要小。（a）（b）·++1R2R1C3RCouiu下面以二阶有源滤波电路为例，来讨论电路参数的计算。例11.3.1已知截止频率，试选择和计算下图所示电路形式的巴特沃思二阶低通滤波电路的参数。HzfH100++RCCR1RfR通常C的容量宜在数量级以下，R的数值一般约为几百千欧以内。选择C＝0.047，则解（1）选择电容器C的容量，计算电阻R的阻值。F参看表11.3.1中的低通滤波函数，并考虑－3dB截止角频率，则kC