2独立增量过程汇总

独立增量过程引言一、独立增量过程1．定义设{X(t),t0}为一随机过程,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量.若对于任意的正整数n及任意的0t0t1t2…tn,n个增量X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。若对于任意的实数s,t和0s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。2．独立增量过程的性质(1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分布函数可以由增量X(t)－X(s)，0s＜t的分布确定.证：令Yk=X(tk)-X(tk-1),k=1,2,…,n.t0=0.由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协方差函数为)).,(min(),(tsDtsCXXY1,Y2,…,Yn的联合分布即可确定，而X(t1)=Y1，X(t2)=Y1+Y2，……X(tn)=Y1+Y2+…+Yn，即X(tk)是Y1，…Yn的线性函数，推广第二章的结果：Y1,Y2,…,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。证明:记Y(t)=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时，Y(t)也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)].所以，当0s＜t时，有)]()([),(tYsYEtsCX)]())()()][(0()([sYsYtYYsYE)]([)]()([)]0()([2sYEsYtYEYsYE)(sDX于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为：)).,(min(),(tsDtsCXX同理，当0t＜s时，有)(),(tDtsCXX二、泊松过程1.定义定义1.称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示[0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件(1)N(t)≧0；(2)N(t)取整数；(3)若0≤s＜t,则N(s)≤N(t)；(4)当s＜t时,N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发生的次数。例如：若用N1(t)表某电话交换台在[0,t]内接到的电话呼唤次数；若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数；若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些Ni(t)均为计数过程。为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点出现的个数。定义2:称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件(1)N(0)=0；(2)N(t)是独立增量过程；(3)对于任意的s,t≥0,N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松分布,,2,1,!)()(kkteksNstNPkt从条件(3)：泊松过程的均值函数为ttN)(,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。ttNE)]([令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤st,给出泊松过程的另一定义:定义3.称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数0的泊松过程,若它满足下列条件(1)N(0)=0；(2)N(t)是独立增量过程；(3)N(t)满足:tttttNP1),(ttttNP2),(定理:定义2与定义3是等价的。2．泊松过程的数字特征设{N(t),t≥0}是泊松过程,则E[N(t)]=t；DN(t)=t；).,min(),(tstsCN3．泊松过程的定理设{N(t),t≥0}为泊松过程，N(t)表示到t时刻时质点出现的个数,W1，W2，...分别表示第一个，第二个，…质点出现的时间,Tn(n≥1)表示从第n－1个质点出现到第n个质点出现的时间间隔.T1T2Tk0W1W2Wk-1Wkt通常称Wn为第n个质点出现的等待时间,Tn为第n个时间间隔,它们都是随机变量。定理1.设{N(t)，t≥0}是具有参数的泊松过程,{Tn,n≥1,2,...}是对应的时间间隔序列,则随机变量序列Tn,n=1,2,...为独立的且均服从参数为的指数分布。证明：(1)先确定T1的分布.为此首先注意到事件{T1t}发生当且仅当在时间间隔[0,t]内没有质点出现,因而tetNPtTP0)(}{1所以,T1具有参数为的指数分布。(2)为求T2的分布,先求T1的条件下T2的条件分布,由独立增量性有sTtssPsTtTP112,0内无质点出现在内无质点出现在tssP,tetssNP0),(所以,可得T2也是一个具有参数为的指数分布的随机变量且T2独立于T1,重复同样的推导可得定理。下面求等待时间Wn分布，注意到第n个质点出现在时间t或之前当且仅当到时间t已出现的质点数至少是n，即njjtnjtentNPtWP!)()(上式对t求得，得Wn的概率密度是000!1)(1ttntetfntWn定理2.设{Wn,n=1,2,…}是与泊松过程{N(t),t≥0}对应的一等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为000!1)(1ttntetfntWn注意，定理1的逆命题也成立定理3.如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为的泊松过程。例.设{X(t)}是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L0为常数，求Y(t),RY(s,t).解：Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L；RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),对任意0≤st，有))(),((),(tYsYCovtsCY))()(),()((tXLtXsXLsXCov))(),(())(),(())(),(())(),((tXsXCovtXLsXCovLtXsXCovLtXLsXCovtstLsLtsLtLs,min,min,min,min2||2||2||2||2tststLsLtsLtsLtstsLts||2||||tsLtstLs||2||||||||tstsLtsLLtsLtstsL||0|||)|(LtsLLtstsLLtsRX||||||),(2222所以高斯过程（正态过程）一、定义：设{X(t)}为随机过程，如果对任意的正整数n及任意t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服从n维正态分布，则称{X(t)}为正态过程。正态过程是二阶矩过程。记其均值函数为μX(t),协方差函数为CX(s,t)。二、正态过程的性质：对任意的正整数n及任意t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的分布由其相应的均值及协方差矩阵完全确定，所以μX(t)和CX(s,t)完全确定了{X(t)}的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：1．{X(t),tT}为正态过程，其统计特性由μX(t)和CX(s,t)确定。反之，可以证明，T=[0,+∞],给定μ(t)和非负二元函数C(s,t)，则存在正态过程{X(t)}，使μX(t)=μ(t)，CX(s,t)=C(s,t)。定义：设随机过程{X(t),tT}，且对任意正整数n2，任意n个不同的t1,t2,…,tnT，随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机过程。2．正态过程{X(t),tT}为独立随机过程对任意的s,t,s≠t时，协方差函数CX(s,t)=0.证明：“”n2,因为X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立的正态随机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0,s≠t.“”因(X(t1),X(t2),…,X(tn))为n维正态随机变量，于是X(t1),X(t2),…,X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0,s≠t，所以X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立。3．{X(t)}为正态过程它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。事实上，由正态的性质，n维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，显然成立。4．{X(t)}为正态过程，则{X(t)}是严平稳过程{X(t)}是宽平稳过程。证明：“”因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质，显然成立。“”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+)只与有关。由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意t1,t2,…,tnT,t1+h,t2+h,…,tn+hT,要证：（X(t1),X(t2),…,X(tn)）与（X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h)）同分布（*）。而正态过程的分布由μX及Rx(s,t)决定，μX为常数。),(),(hthtRttRjiXjiX),(),()()(),(),(2jiXXjiXjXiXjiXjiXttCttRtththtRhthtC即(*)式成立。例：设随机过程X(t)=Ucos0t+Vsin0t,t0.0为常数，U,V是两个相互独立的正态随机变量，且E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=2.试证：{X(t)}为正态过程，并求其一、二维概率密度.解：（1）证{X(t)}为正态过程：只须证{X(t)}的任意有限多个随机变量的任意线性组合是一维正态随机变量。对任意正整数n，0≤t1t2…tn,及任意a1,a2,…,anR,.sincos)(10101BVAUVtaUtatXaWniiiniiiniii即：W是两相互独立的正态随机变量的线性组合，所以W是一维正态随机变量，于是{X(t)}为正态过程。（2）求一维概率密度.对确定的t0,X(t)为正态随机变量且E[X(t)]=E(V)cos0t+E(V)sin0t=0，D[X(t)]=D(V)cos0t+D(V)sin0t=2，于是{X(t)}的一维概率密度为：22221);(xetxf（3）求二维概率密度.t1,t20,E[X(t1)]=E[X(t2)]=0，cov(X(t1),X(t2))=E[X(t1),X(t2)]=E[(Ucos0t1+Vsin0t2)(Ucos0t1+Vsin0t2)]=E(U2cos0t1cos0t2)+E(V2sin0t1sin0t2)+0=2cos0(t1-t2)，于是,二维正态随机变量(X(t1),X(t2))的均值和协方差矩阵分别为：μ=(0,0)12202022,coscosttC),(,||21),;,(212122121列向量是所以xxxxeCttxxfCx为了以后的需要推广到：(1)f(t)为[a,b]上的复值函数，相应极限为0)()(lim210||njjjjYtuXufE其中Y一般为复值的随机变量.(2)两元普通函数f(s,t)（亦可为复值）0)()(),(lim),(