2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

第1页共8页2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|2230xx}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB=A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）2.32(1)(1)ii=A.1iB.1iC.1iD.1i3.设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx时奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A.()fx()gx是偶函数B.|()fx|()gx是奇函数C.()fx|()gx|是奇函数D.|()fx()gx|是奇函数4.已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.18B.38C.58D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在[0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.158第2页共8页8.设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则A.32B.22C.32D.229.不等式组124xyxy的解集记为D.有下面四个命题：1p：(,),22xyDxy，2p：(,),22xyDxy,3P：(,),23xyDxy，4p：(,),21xyDxy.其中真命题是A.2p，3pB.1p，4pC.1p，2pD.1p，3p10.已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若4FPFQ，则||QF=A.72B.52C.3D.211.已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.8()()xyxy的展开式中22xy的系数为.(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知A，B，C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为.16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第3页共8页17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.（I）证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.19.(本小题满分12分)如图三棱锥111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC.（I）证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，AB=Bc，求二面角111AABC的余弦值.20.(本小题满分12分)已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.21.(本小题满分12分)设函数1(0lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f）处的切线为(1)2yex.（I）求,ab；（Ⅱ）证明：()1fx.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则第4页共8页按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE(Ⅰ)证明：∠D=∠E；学科网（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0ab，且11abab.（I）求33ab的最小值；（Ⅱ）是否存在,ab，使得236ab？并说明理由.第5页共8页2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I答案1—5ADCAD6—12CDCBBCB13．－2014．A15．90°16．217．【解析】：(Ⅰ)由题设11nnnaaS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa…………6分（Ⅱ）由题设1a=1，1211aaS，可得211a，由(Ⅰ)知31a假设{na}为等差数列，则123,,aaa成等差数列，∴1322aaa，解得4；证明4时，{na}为等差数列：由24nnaa知数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4的等差数列2143mam令21,nm则12nm，∴21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4的等差数列241mam令2,nm则2nm，∴21nan(2)nm∴21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得{na}为等差数列.………12分18．【解析】：(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s150…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而(187.8212.2)PZ(20012.220012.2)0.6826PZ………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)XB，所以1000.682668.26EX………12分19．【解析】：(Ⅰ)连结1BC，交1BC于O，连结AO．因为侧面11BBCC为菱形，所以1BC1BC，且O为1BC与1BC的中点．又1ABBC，所以1BC平面ABO，故1BCAO又1BOCO，故第6页共8页1ACAB………6分（Ⅱ）因为1ACAB且O为1BC的中点，所以又因为，所以BOABOC故OA⊥，从而OA，OB，1OB两两互相垂直．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．因为0160CBB，所以1CBB为等边三角形．又，则30,0,3A，1,0,0B，130,,03B，30,,03C1330,,33AB，1131,0,,3ABAB1131,,03BCBC设,,nxyz是平面的法向量，则11100nABnAB，即33033303yzxz所以可取1,3,3n设m是平面的法向量，则111100mABnBC，同理可取1,3,3m则1cos,7nmnmnm，所以二面角111AABC的余弦值为17.20．【解析】(Ⅰ)设,0Fc，由条件知2233c，得3c又32ca，所以，2221bac,故E的方程2214xy.……….6分（Ⅱ）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：2ykx，设1122,,,PxyQxy将2ykx代入2214xy，得221416120kxkx，当216(43)0k，即234k时，21,22824314kkxk从而2221224143114kkPQkxxk第7页共8页又点O到直线PQ的距离221dk，所以OPQ的面积221443214OPQkSdPQk，设243kt，则0t，244144OPQtSttt，当且仅当2t，72k时等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：722yx或722yx.…………………………12分21．【解析】(Ⅰ)函数()fx的定义域为0,，112()lnxxxxabbfxaexeeexxx由题意可得(1)2,(1)ffe，故1,2ab……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()lnxxefxexx，从而()1fx等价于2lnxxxxee设函数()lngxxx，则()lngxxx，所以当10,xe时，()0gx，当1,xe时，()0gx，故()gx在10,e单调递减，在1,e单调递增，从而()gx在0,的最小值为11()gee.……………8分设函数2()xhxxee，则()1xhxex，所以当0,1x时，()0hx，当1,x时，()0hx，故()hx在0,1单调递增，在1,单调递减，从而()hx()gx在0,的最小值为1(1)he.综上：当0x时，()()gxhx，即()1fx.……12分22．【解析】.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,所以D=分（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由知MN⊥所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故O