全概率公式与Bayes公式

全概率公式与Bayes公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。综合运用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0问题：由简单事件的概率推出复杂事件的概率.定理1设B为随机试验T中的一复杂事件，上述公式称为全概率公式.一、全概率公式事件A1，A2，…，An构成一完备事件组,则niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(A1AnBA1BA2BAn全概率公式BA2应用乘法公式ΩjiniiAAA1))((1jiniiBABABABniniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(一、全概率公式中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球为白球的概率.称P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验事件B视为结果。例1甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋一、全概率公式21()(|)()0.6iiiPBPBAPA解A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋”则P(B|A1)=4/6,P(B|A2)=3/6根据全概率公式有P(A1)=3/5,P(A2)=2/5设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件,A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”,一、全概率公式例2甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果一人击中飞机,飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落；求飞机被击落的概率.一、全概率公式解以B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”，则根据题意有一、全概率公式P(A0)=(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)=0.09,P(A1)=0.4×(1－0.5)×(1－0.7)+0.5×(1－0.4)×(1－0.7)+0.7×(1－0.4)×(1－0.5)=0.36,P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+0.4×0.7×(1－0.5)=0.41,P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,一、全概率公式根据全概率公式有30()(|)()0.458iiiPBPBAPA从上述几个例子可以看出：将结果视为B，然后找出原因Ai,再利用全概率公式。一、全概率公式二、Bayes公式贝叶斯ThomasBayes，英国人.1702年出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英国皇家学会会员.1763年4月7日逝世.贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作《机被沿用至今.贝叶斯公式是他在1763年提出来的.会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语底患了A1，A2，…,An中的哪一种病,以便对症下药.例3（专家系统）医疗诊断中，为了诊断病人到对病人进行观察检查，症状记为事件BP(Ai)，表示生Ai病的概率P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率二、Bayes公式若P(Ai|B),i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:Bayes公式为后验概率。计算P(Ai|B),i=1,2,…,nniiiiiiiAPABPAPABPBPBAPBAP1)()|()()|()()()|(其中)|(BAPi二、Bayes公式上述公式称为Bayes公式.1()(|)()(|)()(|)()iiiiniiiPABPBAPAPABPBPBAPA定理2设B为一事件且P(B)0,事件A1,A2,…,An构成一完备事件组，且P(Ai)0,i=1,2,…n，二、Bayes公式(2)若消费者买到一只次品灯泡,问它是哪个例4某商店从三个厂购买了一批灯泡,甲厂占25%,乙厂占35%,丙厂占40%,各厂的次品率分别为5%,4%,2%,求厂家生产的可能性最大。(1)消费者买到一只次品灯泡的概率二、Bayes公式解以B表示消费者买到一只次品灯泡,A1,A2,A3分别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡，根据题意得：P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%31(1)()(|)()0.0345iiiPBPBAPA二、Bayes公式111131()(|)()(2)(|)0.3623()(|)()iiiPABPBAPAPABPBPBAPA222231()(|)()(|)0.4058()(|)()iiiPABPBAPAPABPBPBAPA333331()(|)()(3)(|)0.2319()(|)()iiiPABPBAPAPABPBPBAPA所以买到乙厂产品的可能性最大。二、Bayes公式总结全概率公式1()(|)()(|)()(|)()iiiiniiiPABPBAPAPABPBPBAPABayes公式niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(