(二)函数性质(1)答案

函数的性质(1)一.单调性1)定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。2)判定方法有：a.定义法（作差比较和作商比较）b.导数法（适用于多项式函数）c.复合函数法和图像法。3).应用：比较大小，证明不等式，解不等式。二.奇偶性1)定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数。2)判别方法：定义法，图像法，复合函数法3)应用：把函数值进行转化求解。三.周期性1)定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.2)应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。练习:1.下列函数中，在区间(,0)上是增函数的是（B）A842xxyB)(log21xyC12xyDxy12．函数212log(231)yxx的递减区间为(B)A.（1，+）B.（－，43］C.（21，+）D.（－，21］3.若函数121)(xxf，则该函数在),(上是（A）A．单调递减；无最小值B．单调递减；有最小值C．单调递增；无最大值D．单调递增；有最大值4.已知函数0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)(),fafa则实数a的取值范围是(C)A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa22，解得12a，故选择C。5.已知512a，函数()xfxa，若实数m、n满足()()fmfn，则m、n的大小关系为.解析考查指数函数的单调性。51(0,1)2a，函数()xfxa在R上递减。由()()fmfn得：mn6.若函数52xmxy在2,)上是增函数，则m的取值范围是___410m。7.求函数f(x)=21xx的单调区间，并证明其单调性。【解法一】：f(x)的定义域为R,在定义域内任取12xx，则12121212221212()(1)()().11(1)(1)xxxxxxfxfxxxxx其中12xx〈0，211x〉0，221x〉0.(1)当1,x2x∈[-1，1]时，即|1,x|〈1，|2x|〈1,所以，|1x2x|〈1，则1x2x〈1，1-1x2x〉0，1()fx-2()fx0,1()fx2()fx.所以，f(x)为减函数。（2）当1x，2x∈（-∞，-1］,［１，＋∞］时，1-1x2x＜０，1()fx＞2()fx.所以，f(x)为减函数。综上所述，f(x)在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1］和［１，＋∞）上是减函数。【解法二】：f(x)的定义域为R,'()fx=222222121(1)(1)xxxxxx。令'()fx〉0，得-1x1,'()fx0,得x1或x-1.f(x)的单调增区间是[-1，1]，单调减区间是（-∞，-1］，［１，＋∞）.【点评：】（1）判断或证明函数的单调性常用的思路主要有：用函数单调性的定义；求导数，在判断导函数在所要求讨论的区间上的符号；利用复合函数的单调性等。（2）利用定义时，要注意1-1x2x的正负判断。1-1x2x形式的判断，一般设1x=2x，再令21x=0得1x=±1，从而找到分界点。8．定义在]4,1[上的函数)(xf为减函数，求满足不等式2(12)(4)0fafa的a的值的集合。)21(af0)4(2af∴)21(af)4(2af，又)(xf定义在]4,1[上的减函数，∴221124144124aaaa即303313aaa10a所以，满足题意的a取值的集合为}01|{aa．【点评：】这是抽象函数的单调性问题，首先应该注意函数的定义域不能扩大或缩小，再是通过合理变形，根据单调性，脱去“f”，得到具体的数学式，然后进行求解或论证。9.已知函数],1,0(,12)(2xxaxxf（1）若]1,0()(xxf在是增函数，求a的取值范围;（2）求]1,0()(在区间xf上的最大值.解：（1）即恒成立对命题等价于,]1,0(0)(,22)(3xxfxaxf;]1,0()(,0)(,)1,0(,)1(2)(,1,1)1()]([,]1,0(1)(,133max33也是增函数在时当时而当为增函数在而xfxfxxxxfagxgaxxxgxa综上，a的取值范围是1.a（2）①;12)1()]([,]1,0()(,1maxafxfxfa为增函数在时当②当],1,0(1,11022)(,1333aaxxaxfa得令时综上所述：①max1,[()](1)21;afxfa当时②32max311,[()]()3.afxfaa当时【点评】利用导数研究函数的单调性，要注意导函数的正负情况，求函数的最值，给出函数极大（小）值的条件，一定既要考虑'()fx=0，又要考虑检验“左正右负”（”左负右正”）的转化，否则条件没有用完，这一点要注意。10．判断下列函数的奇偶性：1(1)(0)1612(1)();(2)()0(0)21(1)(0)xxxnxxxfxfxxnxxx222(3)()1(111)fxogxx（1）函数定义域为R，)(2211614161211161222116)(xfxfxxxxxxxxxxx，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：14414116)(xxxxxf，显然)(xf为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx②设)()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx332max31(),11,[()]()3.fxxaafxfaa且的值在处左正右负当时③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3）10101222xxx，∴函数的定义域为1x，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；11.函数11xxy是(D)A．奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数12.已知2()3fxaxbxab是偶函数，定义域为[1,2]aa.则a_13___，b013.若1()21xfxa是奇函数，则a．12解析解法112(),()()2112xxxfxaafxfx21121()21122112122xxxxxxaaaa故14.设函数)(xfy是奇函数.若3)2()1(3)1()2(ffff,则)2()1(ff.-315.已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf-x-x4.16.已知函数()fx为R上的奇函数，当0x时，()(1)fxxx.若()2fa，则实数a.117.若函数2()()afxxaxR，则下列结论正确的是（）A.aR，()fx在(0,)上是增函数B.aR，()fx在(0,)上是减函数C.aR，()fx是偶函数D.aR，()fx是奇函数18已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是(A)（A）（13，23）B.［13，23）C.（12，23）D.［12，23）19.已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（C）A．2B．1C．1D．220.已知定义域为R的函数xf在区间,8上为减函数，且函数8xfy为偶函数，则（D）A.76ffB.96ffC.97ffD.107ff21.函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_______-51___。22.定义在R上的函数xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则741fff等于(B)A.-1B.0C.1D.423.设f(x)是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是(A)A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数24.已知函数()fx,()gx在R上有定义，对任意的,xyR有()()()()()fxyfxgygxfy且(1)0f（1）求证：()fx为奇函数（2）若(1)(2)ff，求(1)(1)gg的值解（1）对xR，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-g(u)f(v)]=-f(x)………………4分（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=1…………………8分