数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用

第4讲一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。——苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(A、)2,3(B，C是坐标轴上一点。若ABC是直角三角形，则满足条件的点C的坐标是_________。（山东省竞赛题）思路点拨C点可在x轴也可能在y轴，又ABCRt直角顶点未确定，故解本例的关键是分类讨论。【例2】已知实数x、y满足32424xx，324yy，则yx444的值为（）。A．7B．2131C．2137D．5（全国初中数学竞赛题）思路点拨分别解关于x22、y2的方程。【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围城（如图所示）。若花园的BC边长为x（m），花园的面积为y（m2）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）【例4】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度2m/s，连接PQ。若运动时间为t（s）（2t2)，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形，求此时AQP的面积.（青岛市中考题）思路点拨对于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周长时t值，再看求出t的值是否满足由面积关系建立的方程。【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线1xy与343xy交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点。（1）求点A、B、C的坐标；（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标。分析对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分情况讨论状况。（太原市中考题）例4图巧定价格【例6】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间。据预测，当每年的年租金定为10万元时，当全部租出。每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（1）当每间商铺的年租金定位13万元，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定位多少万元时，该公司的年收益（收益+租金-各种费用）为275万元？（绍兴市中考题）学力训练基础夯实1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，那么两次降价的百分率为_________。（大连市中考题）2.庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有_______支队参加比赛。（鄂州市中考题）3.假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144人患了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有______人。4．已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为_________．（2011年潍坊市中考题）(第4题）5.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（）A.7B.8C.9D.10（2011•荆州市中考题）6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（海口市中考题）7.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？（南宁中考题）8.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．（1）求点B的坐标；（2）当∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．（广东省中考题）能力拓展9.过点P（-1,3）作直线，使它与两坐标轴围城的三角形面积为5，这样的直线可以作_____第7题第8题条。（全国初中数学联赛题）10.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总数是159次，那么参加会议的成员有______人，其中，第二次握手共有_____次。（第19届江苏省竞赛题）11.如图，直线bxy33与y轴交于点A，与双曲线xky在第一象限内交于点B、C两点，且4ACAB，则k=________.(武汉市中考题）12.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数xy2)0(x的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数xy2(x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为_______。（2011年宁波市中考题）13.一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，ba的值等于（）A.231B.251C.232D.25214.如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）。（山东省竞赛题）A.2537B.253C.251D.221第11题第12题15.（2006•无锡）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．（无锡市中考题）16.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．（山东省竞赛题）17.如图,已知直线)1()1(kkxky(k1)与双曲线y=6/x在第一象限和第三象限分别交于点A（11,yx）和点B（22,yx），分别由A、B向x轴引垂线，垂足为M、N，当四边形AMBN的面积取得最小值时，求k的值。（世界数学团体锦标赛试题）18.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/秒，，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，PM∥BC？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；第15题第17题（3）是否存在某一时刻t，使ABCPQCMSS169四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PQCM成为等腰梯形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（2011青岛市中考题）19.求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd=2cdab，其中，数码c可以为0。（“新知杯”上海市竞赛题）第18题