问题6.3-利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题-突破170分2016届高三数学复习提升秘籍

1突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题三利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考．I基础知识1．（1）若Rba,，则abba222；（2）若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）．2．（1）若00a,b，则abba2；（2）若00a,b，则abba2（当且仅当ba时取“=”）；（3）若00a,b，则22baab（当且仅当ba时取“=”）．3．若0x，则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x，则12xx（当且仅当1x时取“=”）；若0x，则12xx，即12xx或12xx（当且仅当ba时取“=”）．4．若0ab，则2abba（当且仅当ba时取“=”）；若0ab，则2abba，即2abba或2abba（当且仅当ba时取“=”）．5．若Rba,，则22222abab骣++琪£琪桫（当且仅当ba时取“=”）．II拓展1．一个重要的不等式链：2221122abababab．2.22223()3abbccaabcabc3．函数0,0bfxaxabx图象及性质2（1）函数0)(baxbaxxf、图象如右图所示：（2）函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：22,abab,；②单调递增区间：,,,bbaa；单调递减区间：0,,,0bbaa．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．III基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本．因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式．类型一给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知,abR，且24ab，则33ab的最小值为________.【答案】63【牛刀小试】设,xy是正实数，且1xy，则2221xyxy的最小值是__________．【答案】14．【分析一】考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】121)2(2)1()12(1222222222xyyxyxyxyxyxyxyyxx【分析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数．【解析二】设2xs，1yt，则4st，2222214141414262,21stxyststxystststst224114114915,.444214tsxyststststxy类型二未知定值【例2】已知二次不等式220axxb的解集为1xxa，且ab，则22abab的最小值为___________．【分析】根据已知条件求出a,b的关系，再将22abab变为两个正数的和（或积）为常数，用基本不等式求最值．【答案】22【解析】【评析】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式4适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式【牛刀小试】【2010江苏高考第14题】将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2S梯形的周长梯形的面积，则S的最小值是_________．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则22233411331122xxSxxx，令22(3)()(01)1xfxxx，则22269610()111xxxfxxx．令35,(25)txt，则22261021818161101651013xttxttttt．161625,28,ttttt等号当且仅当4t=，即13x时成立，16tt最小值为8，22691xxfxx的最小值为8，S的最小值是3233．技巧一：凑项【例3】已知54x，求函数14245yxx的最大值．【分析】450x，∴首先要“调整”符号，又14245xx不是常数，∴对42x要进行拆、凑项．【解析】【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．【牛刀小试】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知1,2,1216abab，则ab的最小值是______________.【答案】5【解析】因为1,2ab，则10,20ab．5所以1232123835.ababab且仅当12ab，即3,2ab时等号成立．技巧二：凑系数【例4】当04x时，求82yxx的最大值．【分析】由04x知820x，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2(82)8xx为定值，故只需将82yxx凑上一个系数即可．【解析】211282822828222xxyxxxx，当282xx，即2x时取等号，∴当2x时，(82)yxx的最大值为8．【评注】本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【牛刀小试】设230x，求函数()432yxx=-的最大值．【解析】∵230x，∴023x，∴()()223294322232222xxyxxxx骣+-琪=-=??琪桫，当且仅当232xx=-，即330,42x骣琪=?琪桫时等号成立．【评注】总的来说，要提高拼凑的技巧，设法拼凑出乘积或和为定值的形式技巧三：分离【例5】求2710(1)1xxyxx的值域．【分析一】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有()1x+的项，再将其分离．【解析一】6【牛刀小试】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】已知a，b都是负实数，则babbaa2的最小值是___________________.【答案】2（﹣1）【解析】222222222ababababababababababababab222．技巧四：换元上述例5也可以用换元法求解．【分析二】本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令1tx=+，化简原式再分离求最值．【解析二】令1tx=+，则22(1)7(1+10544=5ttttytttt）．当，即10tx=+时，4259ytt（当2t=即1x=时取“＝”号）．【评注】分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为0,0,ymgxgxBABgx恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．【牛刀小试】已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求y＝1ab的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行．【解法一】点评：①本题考查不等式abba2()0,0ab的应用、不等式的解法及运算能力；7②如何由已知不等式230abab()0,0ab出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2()0,0ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围．技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例6】已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值．【错解】0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy，故min12xy．【错因】解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy，即9yx，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy，当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy．【牛刀小试】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】若圆222410xyxy上存在两点关于直线220axby(0,0)ab对称，则14ab的最小值为______________.【答案】9【解析】圆222410xyxy的圆心为1,2，由已知得直线220axby必经过圆心1,2，即1ab；所以141444()5529babaababababab，当且仅当4baab时等号成立，故D为正确答案．8技巧六：取平方【例7】已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值．【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系2222abab．【解法一】3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25．【分析二】条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢．【解法二】W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤20＝25．【牛刀小试】求函数152152()22yxxx的最大值．【解析】【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．技巧七：构造要求一个目标函数),(yxf的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(yxf为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(yxf的最值．【例8】【2010重庆理】已知0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为__________.【答案】4【解析】∵x0，y0，∴2228)2(82yxyxyx，整理得0322422yxyx，即08242yxyx，又02yx，42yx，等号当且仅当22xy时成立．【例9】【2011浙江高考题理16】设,xy为实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是．9【分析】利用基本不等式将已知定值式中224xy,xy的均转化成含2xy的不等式，再求2xy的最大值．【答案】2105