2015高考数学优化指导选修4-4第2节

选修4-4第二节1．直线x＝－2－2ty＝3＋2t，(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析：(－3,4)或(－1,2)由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝12，t＝±22，代入x＝－2－2ty＝3＋2t，(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．2．(2013·陕西高考)圆锥曲线x＝t2y＝2t，(t为参数)的焦点坐标是________．解析：(1,0)由x＝t2y＝2t，消去t得y2＝4x，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．3．若直线l：y＝kx与曲线C：x＝2＋cosθy＝sinθ，(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.解析：±33曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝|2k|1＋k2＝1，解得k＝±33.4．直线3x＋4y－7＝0截曲线x＝cosαy＝1＋sinα，(α为参数)的弦长为________．解析：85曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l＝212－352＝85.5．(2014·宝鸡检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝1－22ty＝－22t(t为参数)．以Ox为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝50≤θ≤π2，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．解析：(2,1)依题意得曲线C1为直线，其方程为x－y－1＝0，曲线C2为圆x2＋y2＝5的四分之一，联立两曲线方程，可得交点为(2,1)．6．已知曲线C的参数方程是x＝1＋cosφy＝sinφ，(φ为参数，0≤φ2π)，以坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是________．解析：ρ＝2cosθ将参数方程化为普通方程是(x－1)2＋y2＝1，它表示以点(1,0)为圆心、1为半径的圆，从而在极坐标系中，圆心是(1,0)，半径为1，故极坐标方程为ρ＝2cosθ.7．(2013·广东高考)已知曲线C的参数方程为x＝2costy＝2sint，(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．解析：ρsinθ＋π4＝2因为曲线C的参数方程为x＝2costy＝2sint，(t为参数)，所以其普通方程为x2＋y2＝2.又点(1,1)在曲线C上，因此切线l的斜率k＝－1.故直线l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，即ρsinθ＋π4＝2.8．(2014·湖北八市调研)设直线l1的参数方程为x＝1＋ty＝a＋3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线l2的方程为ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0，若直线l1与l2间的距离为10，则实数a的值为________．解析：9或－11由x＝1＋ty＝a＋3t(t为参数)消去t得3x－y＋a－3＝0，由ρsinθ－3ρcosθ＋4＝0化为普通方程得3x－y－4＝0，由平行线间的距离公式可得|a－3＋4|10＝10整理得|a＋1|＝10解得a＝9或a＝－11.9．(2014·广州调研)已知圆C的参数方程为x＝cosθy＝sinθ＋2，(θ为参数)，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是________．解析：2圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝1，其圆心C的坐标为(0,2)，半径r＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y－1＝0，点C到直线l的距离d＝|0＋2－1|2＝22，因此直线l截圆C所得的弦长21－222＝2.10．如果曲线C：x＝a＋2cosθy＝a＋2sinθ，(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．解析：(－22，0)∪(0,22)将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得02a24，∴0a28，解得0a22或－22a0.故所求范围为(－22，0)∪(0,22)．11．(2014·汕头质检)已知直线l的参数方程是x＝2＋ty＝t－2，(t为参数)，圆C的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ，(θ为参数)，则圆C上的点到直线l的距离的最大值是________．解析：22＋2方法一：直线l方程是x－y－4＝0，圆C方程为x2＋y2＝4，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝|0－0－4|2＝222.所以圆C上的点到直线l的距离最大值是d＋r＝22＋2.方法二：直线l的方程是x－y－4＝0，所以圆C上的点到直线l的距离d＝|2cosθ－2sinθ－4|2＝22cosθ＋π42，所以圆C上的点到直线l的距离的最大值是|22×－1－4|2＝22＋2.12．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C：x＝2cosθy＝sinθ，(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为________．解析：－∞，－22∪22，＋∞曲线C的参数方程：x＝2cosθy＝sinθ，(θ是参数)化为普通方程：x22＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入椭圆的方程得x22＋(kx＋2)2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×12＋k2＝4k2－20，解得k－22或k22.所以k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.13．(2014·中原名校联盟摸底)已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(2,3)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和圆的标准方程；(2)设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)圆的标准方程为x2＋y2＝16①直线的参数方程为x＝2＋12ty＝3＋32t(t为参数)②(2)把②代入①得，t2＋(2＋33)t－3＝0③设t1，t2是方程③的两个实根，则t1t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.14．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosαy＝sinα，(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，可得a＝2.所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝12＝221，所以直线l与圆C相交．15．(2014·福州八中质检)已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝22ty＝－4＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρsin2θ＝4cosθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，定点P(0，－4)，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由ρsin2θ＝4cosθ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴y2＝4x.(2)把C1的参数方程代入y2＝4x，得12t2－62t＋16＝0，即t2－122t＋32＝0，∴t1＋t2＝122，t1t2＝32.∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝122.16．(2014·河南调研)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为x＝1＋2cosαy＝－1＋2sinα，(α为参数)，点Q的极坐标为22，74π.(1)化圆C的参数方程为极坐标方程；(2)若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．解：(1)圆C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，展开得：x2＋y2－2x＋2y－2＝0，化为极坐标方程是：ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0.(2)点Q的直角坐标为(2，－2)，且点Q在圆C内，易知当l⊥CQ时，|MN|最小．又圆C的圆心C的坐标为(1，－1)，∴kCQ＝－2－－12－1＝－1.∴kl＝1.∴直线l的直线坐标方程为：y＋2＝x－2.即x－y－4＝0.17．(2014·盐城模拟)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝123cos2θ＋4sin2θ，点F1，F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x＝2＋22t，y＝22t.(t为参数，t∈R)．(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)求点F1，F2到直线l的距离之和．解：(1)将直线l的参数方程消去t得y＝x－2，即为所求的普通方程．椭圆C的极坐标方程为3ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝12.∴3x2＋4y2＝1.∴x24＋y23＝1.故椭圆的普通方程为x24＋y23＝1.(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴点F1到直线l的距离d1＝|－1－0－2|2＝322，点F2到直线l的距离d2＝|1－0－2|2＝22，∴d1＋d2＝22.18．(2014·东北三校联考)在直角坐标系xOy中，过点P32，32作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N.(1)写出直线l的参数方程；(2)求1|PM|＋1|PN|的取值范围．解：(1)x＝32＋tcosαy＝32＋tsinα，(t为参数)．(2)将x＝32＋tcosαy＝32＋tsinα，(t为参数)代入x2＋y2＝1，得t2＋(3cosα＋3sinα)t＋2＝0，由直线l与曲线C交于不同两点M，N得Δ＝(3cosα＋3sinα)2－80，即23sinα＋π62－80，解得sinα＋π663或sinα＋π6－63(舍去)．∴1|PM|＋1|PN|＝1t1＋1t2＝t1＋t2t1t2＝3cosα＋3sinα2＝3sinα＋π6.∵63sinα＋π6≤1，∴23sinα＋π6≤3，∴1|PM|＋1|PN|的取值范围为(2，3)．