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1【优化指导】2015高考数学总复习第9章第8节曲线与方程课时跟踪检测理(含解析)新人教版1.(2014·福州质检)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆解析:选A设圆心C(x,y),由题意得x-2+y-2=y+1(y>0),化简得x2=8y-8.故选A.2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上),M在直线PP1上,且P1M→=2P1P→,则动点M的轨迹方程是()A.4x2+16y2=1B.16x2+4y2=1C.x24+y216=1D.x216+y24=1解析:选D由题意可知P是MP1的中点,设M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),则x0=12x,y0=y,又x20+y20=4,故x22+y2=4,即x216+y24=1.故选D.3.已知向量a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且a∥b,则点P(x,y)的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析:选C依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故x2+ky2=1,当k=1时,点P(x,y)的轨迹为圆;当k>0,且k≠1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k<0时,点P(x,y)的轨迹为双曲线.故选C.4.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP→=2PA→,且OQ→·AB→=1,则P点的轨迹方程是()A.32x2+3y2=1(x>0,y>0)B.32x2-3y2=1(x>0,y>0)2C.3x2-32y2=1(x>0,y>0)D.3x2+32y2=1(x>0,y>0)解析:选A设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由BP→=2PA→,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=32x>0,b=3y>0.又点Q(-x,y),由OQ→·AB→=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=32x,b=3y代入上式,得所求的轨迹方程为32x2+3y2=1(x>0,y>0).故选A.5.(2014·郑州质检)已知A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点,线段AB的长为23,P是AB的中点,则动点P的轨迹C的方程为()A.x29+y2=1B.x29+y24=1C.x24+y2=1D.x24+y29=1解析:选A设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴x=x1+x22y=y1+y22.∵A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的点,∴y1=33x1,y2=-33x2.∴x1-x2=23y,y1-y2=233x..又|AB|=23,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12,∴12y2+43x2=12,∴动点P的轨迹C的方程为x29+y2=1.故选A.6.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1解析:选B设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意,知c=3,a2+b23=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,两式作差,得y1-y2x1-x2=b2x1+x2a2y1+y2=-24b2-30a2=4b25a2,又直线AB的斜率是-15-0-12-3=1,所以4b25a2=1.将4b2=5a2代入a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,所以双曲线E的标准方程是x24-y25=1.故选B.7.(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.则曲线C1的方程为________.解析:y2=20x由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线,其方程为y2=20x.8.已知点P是双曲线x29-y2=1上的一个动点,F1,F2是双曲线的两个焦点,则△PF1F2的重心M的轨迹方程是________.解析:x2-9y2=1(y≠0)设P,M两点的坐标分别为(x1,y1),(x,y),由题意知双曲线的焦点坐标为(-10,0),(10,0),∵△PF1F2存在,∴y1≠0,∴x=x1+-10+103,y=y1+0+03,即x1=3x,y1=3y,①∵y1≠0,∴y≠0,∵点P在双曲线上,将①式代入已知曲线方程得x29-(3y)2=1(y≠0),所以所求重心M的轨迹方程为x2-9y2=1(y≠0).9.(2014·银川一中模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的方程为________.解析:x2-y23=1抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为直线x=-2.∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,∴双曲线的右焦点坐标为F(2,0),4∴双曲线的左焦点坐标为F′(-2,0),∵|PF|=5,∴点P的横坐标为3,代入抛物线y2=8x,y=±26.不妨设P(3,26),∴根据双曲线的定义|PF′|-|PF|=2a,得出25+24-5=2a,∴a=1.∵c=2,∴b2=3,∴双曲线方程为x2-y23=1.10.(2014·南昌模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是________.解析:②③因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,而a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;由题中条件易知曲线C的方程为x+2+y2·x-2+y2=a2,显然若点(x0,y0)在曲线C上,则(-x0,-y0)必在C上,可知曲线C关于坐标原点对称,即②正确;因为S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1|·|PF2|=12a2,即面积不大于12a2,所以③正确.综上②③正确.11.由抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R,求点R的轨迹方程.解:设P(x1,y1),R(x,y),则Q-12,y1,F12,0,∴OP的方程为y=y1x1x,①FQ的方程为y=-y1x-12.②由①②得x1=2x1-2x,y2=2y1-2x,代入y2=2x,可得y2=-2x2+x.∴点R的轨迹方程是y2=-2x2+x.12.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程;5(2)求矩形ABCD外接圆的方程;(3)若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.解:(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由x-3y-6=0,3x+y+2=0,解得点A的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0),所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又|AM|=-2++2=22,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.(3)因为动圆P过点N,所以|PN|是该圆的半径.又因为动圆P与圆M外切,所以|PM|=|PN|+22,即|PM|-|PN|=22.故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为22的双曲线的左支.因为a=2,c=2,所以b=c2-a2=2.从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22-y22=1(x≤-2).1.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:选B抛物线y2=ax(a≠0)的焦点坐标为Fa4,0,则直线l的方程为y=2x-a4,它与y轴的交点为A0,-a2,所以△OAF的面积为12·|a4||a2|=4,解得a=±8.所以抛物线的方程为y2=±8x.2.(2014·山西师大附中月考)已知A、B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若MN→2=λAN→·NB→,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()6A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析:选C以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴,建立坐标系,设M(x,y),A(-a,0)、B(a,0),因为MN→2=λAN→·NB→,所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2,当λ=1时,轨迹是圆.当λ>0且λ≠1时,是椭圆的轨迹方程;当λ<0时,是双曲线的轨迹方程.当λ=0时,是直线的轨迹方程.综上,方程不表示抛物线的方程.故选C.3.如图,椭圆C0:x2a2+y2b2=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t21,b<t1<a.点A1,A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点.则直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为________.解析:x2a2-y2b2=1(x<-a,y<0)设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=y1x1+a(x+a),①直线A2B的方程为y=-y1x1-a(x-a).②由①②得y2=-y21x21-a2(x2-a2).③由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故x21a2+y21b2=1.从而y21=b21-x21a2,代入③得x2a2-y2b2=1(x<-a,y<0).4.如图,在直角坐标系中,已知△PAB的周长为8,且点A、B的坐标分别为(-1,0)、(1,0).(1)试求顶点P的轨迹C1的方程;7(2)若动点P1(x1,y1)在曲线C1上,试求动点Qx13,y122的轨迹C2的方程;(3)过点C(3,0)作直线l与曲线C2相交于M、N两点,试探究是否存在直线l,使得点N恰好是线段CM的中点.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可得顶点P满足|PA|+|PB|=6,故顶点P的轨迹C1是以A、B为焦点的椭圆,但要除去椭圆的左、右两个顶点.椭圆的半焦距长c=1,长半轴长a=3,所以b2=a2-c2=8,故轨迹C1的方程为x29+y28=1(x≠±3).(2)由题意,点P1(x1,y1)在曲线C1上,故x219+y218=1(x1≠±3).设x13=x,y122=y,则x1=3x,y1=22y.代入x219+y218=1(x1≠±3),得x2+y2=1(x≠±1),所以动点Qx13,y122的轨迹C2的方程为x2+y2=1(x≠±1).(3)假设存在直线l,使得点N恰好是线段CM的中点,设M(x2,y2),x2≠±1,则x22+y22=1.①因为点N恰好是线段CM的中点,所以Nx2+32,y22.又点N在曲线C2上,所以x2+322+y222=1.②联立①②,解得x2=-1,y2=0,与x2≠±1矛盾.故不存在满足题意的直线l.
本文标题:2015高考数学总复习第9章第8节曲线与方程课时跟踪检测理(含解析)新人教版
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