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第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象,也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中,矩阵的运算起着重要的作用,本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。§2.2逆矩阵§2.1矩阵的概念及运算§2.3矩阵的分块第一节矩阵的概念1.定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa称m行n列矩阵,简称m×n矩阵。记作111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA一、概念:这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元。以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n,m×n矩阵A也记作Am×n。元素是实数的矩阵,称为实矩阵;元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵,记作An。2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵,又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵,记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等,就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等,那么就称这两个矩阵相等。记作:A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外,其余元素全为零,这样的n阶方阵称为对角矩阵。记作A=diag(λ1,λ2,…,λn)如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1,其余元素全为零,这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵。记作En或E。如果n阶方阵主对角线上的元素全为k,其余元素全为零,这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法:设有两个同型的m×n阶矩阵A=(aij)、B=(bij),则矩阵A与B的和记为A+B,并规定111112121121212222221122.....................nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注:矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行;两个矩阵相加时,对应元素进行相加。矩阵加法的运算律:☞(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij),记A=(aij),称A为矩阵A的负矩阵。由矩阵加法的定义,显然有A+(A)=O,由此,矩阵的减法可定义为AB=A+(B)2.矩阵的数乘:数λ与矩阵A的乘积记为λA或Aλ,并规定:111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA由此可见,矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵,并且,是用数λ与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律:矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法:设矩阵A为m×n阶矩阵、矩阵B为n×p阶矩阵,A=(aij)m×n、B=(bij)n×p,则矩阵A与B的乘积为一m×p阶矩阵C=(cij)m×p,记C=AB,且(1)()()(2)()(3)()AAAAAABAB☞11..........................................jiinijnjbaacb112211,2,,()1,2,,ijijijinnjnikkjkcabababimabjp就是说,矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。☞(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mmnmnmnnmnABCABCABABABABCABACBCABACAEAAAEA☞矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等;☞矩阵的乘法中,必须注意矩阵相乘的顺序,AB是A左乘B的乘积,BA是A右乘B的乘积;☞AB与BA不一定同时会有意义;即是有意义,也不一定相等;☞AB=O不一定有A=O或B=O;A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y111111112222.ABABBAABABBAO0如:显然有:矩阵乘法不满足交换律与结:消去律总只有方阵,它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律,而不满足交换律,因而有下面的式子:(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk()nnnAAAA为正数4.矩阵的乘幂:设A是n阶方阵,定义:5.矩阵的转置:把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT。如果A是一个m×n阶矩阵,那么AT就是一个n×m阶矩阵。且A的行一定就是AT中同序数的列T141232545636AATTTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAABABAAABBA☞证明:设矩阵A为m×s阶矩阵,矩阵B为s×n阶矩阵,那么:(AB)T与BTAT是同型矩阵;又设C=AB,因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji,即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i,b2i,…,bsi正好是BT的第i行,aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列,因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT6.方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记为|A|或detA。注意:行列式与方阵是两个不同的概念,且它们的记号也是不同的。方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵,λ为实数)T(1)||||(2)||||(3)||||||(4)||||nAAAAABABABBA☞2.上(下)三角矩阵:10...00...001...00...0........................00...100...kkkkkE1112111222212212...0...00......0...........................00...nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1.数量矩阵:矩阵kE称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵3.行阶梯矩阵与行最简矩阵:一个m×n阶矩阵A=(aij)它的第i行的第一个非零元素记为,如果当ik时,有jijk时,称A为行阶梯矩阵。若矩阵B满足以下条件(1)B是行阶梯矩阵;(2)B的每一非零行的第一个非零元素为1;(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行最简矩阵。iija230015007820000109000000A130015001020000109000000B4.对称矩阵与反对称矩阵:设A为n阶方阵,若AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),称矩阵A为对称矩阵;若AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),称矩阵A为反对称矩阵。5.正交矩阵:若n阶方阵A满足AAT=ATA=E称A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵:若n阶方阵A满足:A2=A,称A为幂等矩阵Ak=O,称A为幂零矩阵Ak=E,称A为幺幂矩阵7.伴随矩阵:设A=(aij)n×n,矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵11211*1222212.....................nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵A的伴随矩阵,记为A***(det)AAAAAE伴随矩阵有如下重要性质:T11123123nABCABC设,,,求例11123112332...()()...()()...()111123233111123132123331nnnnCCCCABABABABABABBAC而所以:解:TTTTTTTTTT()()nABABABAABABBABBABBAB设、为阶矩阵,且为对称矩阵,证明,仍是对称矩阵。因为,所以证故是对阵:。明称矩例2.TTTTTTTTT()()()nABABABBAABABABABBAAABBABBABAABBAAB设、都是阶对称矩阵,证明是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵而,又,所以有:故是为对称矩阵证明:的充要条件.例3.TT12TTTTTTTTT2T2TT2TT(,,...,)2(2)(2)2(2)44()44()(4nxxxnXXXEHEXXHHHEHEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXX设列矩阵满足=1,为阶单位矩阵,,证明是对称:矩证阵,且=明例.TTTTTT)44()44XXEXXXXXXEXXXXE第二节逆矩阵设对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立,则称矩阵A可逆;B称为A的逆矩阵,记为A-1=B。1.若矩阵A可逆,则A的逆矩阵是唯一的。证明:设A有两个逆矩阵B1、B2,则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断2.若|A|≠0,则A可逆,且1*1121111121*122222122212121..........................................nnnnnnnnnnnnijijaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAA其中是矩阵的元素的代数余子式。证明:由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有:AA*=A*A=|A|E,又|A|≠0**1*111()():||||||AAAAEAAAAA故3.对于n阶方阵A、B若有AB=E则:A、B均可逆,且它们互为可逆矩阵。证明:∵AB=E∴|A||B|=1故|A|≠0且|B|≠0,A、B均可逆,且A-1=B1.若A可逆,则|A|≠0证明:∵A可逆∴AA-1=A-1A=E故|A||A-1|=1,即|A|≠0同时还有11||||AA三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵:若n方阵A的行列式|A|≠0,称矩阵A为非奇异矩阵,否则矩阵A称为奇异矩阵。2.如果A、B均可逆,那么AT与AB都可逆,且(AT)-1=(A-1)T(AB)-1=B-1A-1证明:∵A、B均可逆∴AA-1=A-1A=E故(AA-1)T=(A-1)TAT=ET=E∴(AT)-1=(A-1)T同理(AB)(B-1A-1)=(B-1A-1)(AB)=E∴(AB)-1=B-1A-111111.......01...11nnnnaaaaaaAABABBAEAB设且,求:且 所以 例有解:1*1*31.022160311136102.2AAAAAAA例解:设,求, 1*1*1234012300120001121001211001200011231010121001201.00AAAAAAA设,求:,例解:所以 1212121212()...()...(...()(...4..(..kkkkkkk
本文标题:矩阵及其运算课件
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