GeoGebra+数学绘图教室(3)+函数及方程式-详全文

GeoGebra数学绘图教室(3)函数及方程式台北县立锦和高中陈禾凯与GSP比较起来，GeoGebra多了输入字段，直接输入函数或方程式便立即可看到其对应图形，真是方便极了，也可如同实验一般，试着改变函数的某个参数来观察对应图形的变化，若能配合数值滑杆或其他指令，便能创造出更多的图形.。一．直线方程式y=mx+k(1)设定两个数值滑杆，名称分别为m,k(2)输入y=m*x+k(或y=mx+k注意mk之间空一格表示相乘)(3)以鼠标分别拉动滑杆m,k观察图形的变化二．参数式虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形，但以参数式形式输入更能体会到函数中自变量及应变量的关系。甲.以13)(3xxxf为例(1)在X轴上任取一点A(2)输入t=x(A)(3)输入P=(t,t^3-3t-1)在绘图区会显示P点将光标移至P点，然后按鼠标右键，点选显示移动踪迹(5)拉动X轴上A点，观察P点轨迹的变化乙.利用Curve指令来输入圆锥曲线的参数式以椭圆为例14922yx的参数式为20sin2cos3ttytx设定两个角度滑杆名称分别为α,β数值最小０，最大2pi输入Curve[3cos(t),2sin(t),t,α,β]调整滑杆α,β的大小，即可看到以α,β为范围的椭圆弧线。三．Sequence指令的应用(1)在某个区间内把X轴的取样点从少变多,再画出(x,f(x))的描点图,如此让学生对于函数图形有更深刻的印象以)sin()(xxf为例设定数值滑杆t最小:0最大:40,增量:1输入Sequence[(a,sin(a)),a,-2pi,2pi,2pi/t]再拉动滑杆观察图形的变化(2)若想把上例所出现的取样点由左而右依序出现，再加上两个步骤：新增数值滑杆n，最小0，最大50，增量1，并将sequence改为Sequence[(a,sin(a)),a,-2pi,-2pi+4pi*n/50,2pi/t]，当拉动滑杆n时，函数图形由左而右一点一点描绘出来。四．对数函数及指数函数的图形GeoGebra的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：自然对数常用对数（底数为10）国内教科书y=ln(x)y=log(x)GeoGebray=log(x)或y=ln(x)y=lg(x)在GeoGebra之中若输入y=log(x)是代表的是自然对数，而常用对数是输入y=lg(x)，若底数为其他正数则要用换底公式abbccalogloglog，即输入y=log(x)/log(2)来表示xy2log(1)画出xxaaayayxyxy)1(,,log,log1四个函数图把这四个函数画在一起，前两个对称于Ｘ轴，后两个对称于Ｙ轴，又第一个和第三个以及第二个和第四个有反函数关系，两两对称于y=x。绘图步骤设定数值滑杆a最小:0.01最大:10,增量:0.01输入y=log(x)/log(a)输入y=log(x)/log(1/a)输入y=a^x输入y=(1/a)^x利用在y=log(x)/log(a)上画出一点A，再用对称钮找出在另三个图形上的点A’,A’’,A’1，拉动滑杆看看图形的变化(2)观察y=loga(x)及y=ax两图形交点的个数一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点及一点的图形，但要画出交于三点的情形则远超出人类描绘的能力，在GeoGebra中可用数值滑杆来设定底数a的范围以方便观察此二函数相交情形。绘图步骤设定数值滑杆a最小:0.0０1最大:0.5,增量:0.01输入f(x)=log(x)/log(a)输入g(x)=a^x另外输入h(x)=f(x)-g(x)观察当h(x)和X轴有３个交点时，即此两函数图形交于３点五．利撒求(Lissajous)图形这是由两个振动所形成的二维图形，每个振动均为一个正弦波所代表的简谐运动，即)sin()sin(2211twbytwax的轨迹图形其中a,b表振幅，w1,w2表角速度，1,2代表相差，t为时间绘图步骤首先设定６个数值滑杆，名称分别为a,b,w_1,w_2,Φ_1,Φ_2作线段BC（长度适当即可）,在上任取一点Ｄ输入t=6pi*Distance[B,D]/Distance[B,C](以D在BC上的位置来表示0-6π间的数字，范围可根据需要而自行调整)输入A=(a*sin(w_1*t+Φ_1),b*sin(w_2*t+Φ_2))单击按钮，点选要显示的轨迹点Ａ，然后再点选控制点Ｐ，即可画出Lissajous图形。Lissajous图形变化多端，可先从简单的图形开始观察。以下为21ww,7,...,2,1,4,021kk的情形，图形为圆、椭圆及线段。数据源：当w２=2w1时，以w1=3,w２=6为例，固定01而变动2到接近57.12，图形的左右两扇区域逐渐缩小，形成抛物线，这可由以下算式看出来)22sin(sinbyax)sin21(2cos2bby)21(22axbyw1=3,w２=6,021w1=3,w２=6,1,021w1=3,w２=6,6.1,021接着可观察21ww的情形，可设定滑杆w1最小０，最大12，增量为2，滑杆w２最小1，最大13，增量为2，021。w1=1,w２=2w1=1,w２=4w1=1,w２=6w1=3,w２=2w1=3,w２=4w1=3,w２=6w1=5,w２=2w1=5,w２=4w1=5,w２=6经由以上的观察可以发现Lissajous的图形为限制在2a×2b的矩形之中，w1,w2皆为整数的情形下曲线不管多复杂，轨迹会重复出现。由于Lissajous图形在学术上的应用广泛，因此有不少研究机构用来作为Logo，右图为美国麻省理工学院林肯实验室的首页，其中的Lissajous图形为w1=３,w２=４,1=2=0的情形。六．附录：常用的函数、方程式以及在GeoGebra中的输入形式函数名称及一般式例输入备注一次函数y=ax+by=3x+2y=3x+2国中一次方程式ax+by=c5x+2y=15x+2y=1国中二次函数y=ax2+bx+cy=2x2-3x+1y=2x^2-3x+1国中,高一下高斯函数y=[x]y=ceil(x)高一下根式函数xy3xyy=sqrt(x)y=cbrt(x)或以指数函数方式输入,如y=x^(1/2)高一下指数函数y=ax+by=2xy=2^x高一下绝对值函数y=|ax|+by=||x|+1|+2y=abs(abs(x)+1)+2高一上三角函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscxy=sin(x)y=cos(x)y=tan(x)y=1/tan(x)y=1/cos(x)y=1/sin(x)高一下其中有三个要以倒数关系表示三角函数的迭合y=Acosx+Bsinxy=3sinx+4cosxy=3sin(x)+4cos(x)高一下反三角函数xy1sinxy1cosxy1tany=asin(x)y=acos(x)y=atan(x)高一下对数函数：常用对数底数为１０y=logxy=lg(x)或y=log(x)/log(10)高一下对数函数：自然对数底数为e=2.71828……y=lnxy=log(x)或y=ln(x)大学微积分抛物线y2=4cx,x2=4cyy2=4xy^2=4x高二下圆x2+y2=r2x2+y2=4x^2+y^2=4高二上双曲线12222byax1251622yxx^2/16-y^2/25=1高二下圆锥曲线方程式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0x2+xy+y2=1x^2+xy+y^2=1(xy,之间空一格或x*y表示相乘)高二下七、参考数据1.李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君：函数y=ax与y=logax的图形交点个数的探索数学传播季刊第28卷第4期2.左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译:GeoGebra使用说明3.23.EliMaor着胡守仁译：毛起来说三角天下远见出版4.麻省理工学院的林肯实验室首页：维基百科：