实数全章复习与巩固(提高)知识讲解

实数全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318实数复习，知识要点】要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；（2）任何一个实数a的平方是非负数，即2a≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a(0a).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题【高清课堂：389318实数复习，例1】1、已知31233xxxy，求yx2的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出x的值，从而求出y值，及yx2的值.【答案与解析】解：由题意得303030xxx，解得x＝－331233xxxy＝－2∴yx2＝23218.【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到yx2的值.举一反三：【变式1】已知322xxy，求xy的平方根。【答案】解：由题意得：2020xx解得x＝2∴y＝3，239xy，xy的平方根为±3.【变式2】若373x和334y互为相反数,试求xy的值。【答案】解：∵373x和334y互为相反数,∴3x－7＋3y＋4＝0∴3（xy）＝3，xy＝1.2、已知M是满足不等式63a的所有整数a的和，N是满足不等式2237x的最大整数．求M＋N的平方根．【答案与解析】解：∵36a的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2∵2237x≈2，N是满足不等式2237x的最大整数．∴N＝2∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根．类型二、与实数有关的问题3、已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求323ab的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10的整数部分是3，那么它的小数部分就是103，再代入式子求值.【答案与解析】解：∵a是10的整数部分，b是它的小数部分，3104∴3,103ab∴2323331033271017ab.【总结升华】可用夹挤法来确定，即看10介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：【变式】已知5＋11的小数部分为a，5－11的小数部分为b，则a＋b的值是；a－b的值是_______.【答案】1;2117abab；提示：由题意可知113a，411b.4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.例如：在比较21m与2m的大小时，小东同学的作法是：∵2222111mmmm∴221mm请你参考小东同学的作法，比较43与2(23)的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】解：∵2432343(4433)70∴43＜2(23)【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.举一反三：【高清课堂：389318实数复习，例5】【变式】实数a在数轴上的位置如图所示，则2,1,,aaaa的大小关系是：；0-1a【答案】21aaaa；类型三、实数综合应用5、已知a、b满足28|3|0ab，解关于x的方程122abxa。【答案与解析】解：∵28|3|0ab∴2a＋8＝0,b－3＝0,解得a＝－4,b＝3，代入方程：2212354axbaxx∴【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出a、b的值，再解方程.举一反三：【变式】设a、b、c都是实数，且满足08)2(22ccbaa，求代数式23abc的值。【答案】解：∵08)2(22ccbaa∴220080aabcc，解得248abc∴2341280abc.【高清课堂：实数复习，例6】6、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值.小明的方法：∵91316，设133k（01k）.∴22(13)(3)k.∴21396kk.∴1396k.解得46k.∴41333.676.问题：（1）请你依照小明的方法，估算41的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算m的公式：已知非负整数a、b、m，若1ama，且2mab，则m_________________(用含a、b的代数式表示)；（3）请用（2）中的结论估算37的近似值.【答案与解析】解：（1）∵364149，设416k（01k）.∴22(41)(6)k.∴2413612kk.∴413612k.解得512k.∴54166.4212.（2）∵1ama，设mak（01k）.∴22()()mak.∴222maakk.∴22maak.对比2mab，2,2bbakka∴2bmaa（3）23761,∴6,1ab，∴1376126.083.【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准a和b，表示出2bka.