张量的背景及概念-改1

1张量的背景及概念1.前言自学弹力以来，对于张量的理解成为一个普遍的问题。作为一个不理解就记不住东西的人，我查阅了几本关于张量的书，大概理清了思路，希望把它整理成材料给大家分享。叙述力求以概念方法的思路理解为主，辅之必要的数学推导，对推导不感兴趣了解条件结论即可。但由于水平有限，或许因为理解不足产生一些错误，也希望大家谅解，当个参考吧。对于符号的选择尽量与书上同步，后面也会有说明。对整体脉络不感兴趣或觉得前面内容不好理解的可直接跳至张量概念前一节看亦无不可。2.基矢量的使用我们以往处理空间几何问题时，选用较多的是坐标法。它所隐含的意义是选取两两正交的单位向量𝒆𝟏、𝒆𝟐、𝒆𝟑，将向量分解为𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊，并以𝑥𝑖（𝑖=1,2,3）作为坐标。这种标准正交系的好处在于它具有正交归一性，即𝒆𝒊∙𝒆𝒋=𝛿𝑖𝑗。但在某些情况下，建立标准正交系存在着困难，这时候要以空间中一般的三个向量作为基底（前提是符合作为基底的条件，即线性无关）来描述问题，构建一般的坐标系，通常情况下它是“斜”的。但斜坐标并不具备正交归一性，使用并不方便。以二维为例，建立坐标系𝑥𝛼，其基矢量为𝒆𝟏、𝒆𝟐，对于任意的矢量𝒂、𝒃，在这个坐标系下都能分解为𝒂=𝑎𝛼𝒆𝜶，𝒃=𝑏𝛼𝒆𝜶。此时若要求其点积，有算式𝒂∙𝒃=𝑎𝛼𝑏𝛽𝒆𝜶∙𝒆𝜷。由于斜交，此时𝒆𝜶∙𝒆𝜷一般是不为零的，等式右端将有四项，复杂。解决方法是构造另一组基矢量𝒆𝟏、𝒆𝟐，它满足这样的条件：{𝒆𝟏∙𝒆𝟏=1，𝒆𝟏∙𝒆𝟐=0𝒆𝟐∙𝒆𝟏=0，𝒆𝟐∙𝒆𝟐=1（等价于𝒆𝜶∙𝒆𝜷=𝛿𝛼𝛽）它能解出唯一一组𝒆𝟏、𝒆𝟐。（用原基底表示新基底代入上述式子求解两个二元一次方程组即可）此时仍有上述𝒂、𝒃向量，将它们分别按上面的两组基底分解有𝒂=𝑎𝛼𝒆𝜶，𝒃=𝑏𝛽𝒆𝜷，那么𝒂∙𝒃=𝑎𝛼𝑏𝛽𝒆𝜶∙𝒆𝜷。由上述的定义知𝒆𝜶∙𝒆𝜷=𝛿𝛼𝛽，因而𝒂∙𝒃=𝑎𝛼𝑏𝛽，使点积形式得到简化。这样相当于一个坐标系中有两组基矢。为便于区分，把与坐标轴同向的那组基底（即前面那组）称为协变基，构建的一组基底称为逆变基。需要注意的是，若协变基是正交单位的，那么它的逆变基是它本身。（二维三维皆适用，证明较简单，故不给出）3.基矢与坐标变换在这里我们讨论最简单的变换类型：基矢量发生线性变换（参见线性代数），保持原点不变。对于这里可以有两种思路。1.协变基与逆变基假设有坐标系𝑥𝑖，其协变基𝒆𝒊，逆变基𝒆𝒊。2发生坐标变换后成为新坐标系𝑥𝑖′，其协变基𝒆𝒊′，逆变基𝒆𝒊′。它们之间的坐标变换系数𝒆𝒊′=𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒋（3-1-1）我们称这组系数为协变变换系数。（协变基的变换）𝒆𝒊′=𝛽𝑗𝑖′𝒆𝒋（3-1-2）我们称这组系数为逆变变换系数。（逆变基的变换）由协变基与逆变基定义知𝛿𝑖′𝑗′=𝒆𝒊′∙𝒆𝒋′=𝛽𝑖′𝑖𝛽𝑗𝑗′𝒆𝒊∙𝒆𝒋=𝛽𝑖′𝑖𝛽𝑗𝑗′𝛿𝑖𝑗得到𝛽𝑖′𝑗𝛽𝑗𝑗′=𝛿𝑖′𝑗′由这个式子可以得到矩阵方程[𝛽1′1𝛽1′2𝛽1′3𝛽2′1𝛽2′2𝛽2′3𝛽3′1𝛽3′2𝛽3′3][𝛽11′𝛽12′𝛽13′𝛽21′𝛽22′𝛽23′𝛽31′𝛽32′𝛽33′]=𝐄（3-1-3）根据逆矩阵的性质交换相乘顺序等式仍然成立，有[𝛽11′𝛽12′𝛽13′𝛽21′𝛽22′𝛽23′𝛽31′𝛽32′𝛽33′][𝛽1′1𝛽1′2𝛽1′3𝛽2′1𝛽2′2𝛽2′3𝛽3′1𝛽3′2𝛽3′3]=𝐄得到𝛽𝑖𝑖′𝛽𝑖′𝑗=𝛿𝑖𝑗研究旧基底用新基底表示的方法，用公式（3-1-1）左右两边乘𝛽𝑘𝑖′，有𝛽𝑘𝑖′𝒆𝒊′=𝛽𝑘𝑖′𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒋=𝛿𝑘𝑗𝒆𝒋=𝒆𝒌即𝒆𝒌=𝛽𝑘𝑖′𝒆𝒊′（3-1-4）同理可得𝒆𝒋=𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒊′（3-1-5）由本节标注的5个公式可知，只需要一组变换系数，就可以得出四组基矢之间的变换关系。再看此时空间中向量坐标变换情况，假设空间中任意向量𝒙，显然有3𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊，𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′，𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′据此推导坐标间的变换公式𝑥𝑖𝒆𝒊=𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′=𝑥𝑖′𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒋方程左右两边点乘𝒆𝒊。（当然也可以用基矢的线性无关性考虑向下推导）𝑥𝑖=𝑥𝑖′𝛽𝑖′𝑗𝛿𝑗𝑖=𝛽𝑖′𝑖𝑥𝑖′用类似的方法可以导出其他三个公式𝑥𝑖′=𝛽𝑖′𝑗𝑥𝑗𝑥𝑖′=𝛽𝑗𝑖′𝑥𝑗𝑥𝑖=𝛽𝑖𝑗′𝑥𝑗′以上四个公式即为坐标系变换时，向量各坐标（或者说在各基矢上的分量）的变换公式。2.只考虑协变基对于一开始看协变逆变已经乱了套的同学，从这里看也未尝不可，用另一套思路推导基矢。一样能够推导出基矢及坐标变幻式，但对于张量背景由来的理解不那么有利。也可以当然另一种推导思路吧。假设有坐标系𝑥𝑖，其基矢量𝒆𝒊。发生坐标变换后成为新坐标系𝑥𝑖′，其基矢量𝒆𝒊′。它们之间有变换𝒆𝒊′=𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒋（3-2-1）𝒆𝒊=𝛽𝑖𝑗′𝒆𝒋′（3-2-2）写成矩阵方程形式为𝒆𝟏′𝒆𝟐′𝒆𝟑′=[𝛽1′1𝛽1′2𝛽1′3𝛽2′1𝛽2′2𝛽2′3𝛽3′1𝛽3′2𝛽3′3]𝒆𝟏𝒆𝟐𝒆𝟑且𝒆𝟏𝒆𝟐𝒆𝟑=[𝛽11′𝛽12′𝛽13′𝛽21′𝛽22′𝛽23′𝛽31′𝛽32′𝛽33′]𝒆𝟏′𝒆𝟐′𝒆𝟑′由坐标变换及逆矩阵的知识易知这两个矩阵互逆。满足[𝛽1′1𝛽1′2𝛽1′3𝛽2′1𝛽2′2𝛽2′3𝛽3′1𝛽3′2𝛽3′3][𝛽11′𝛽12′𝛽13′𝛽21′𝛽22′𝛽23′𝛽31′𝛽32′𝛽33′]=𝐄[𝛽11′𝛽12′𝛽13′𝛽21′𝛽22′𝛽23′𝛽31′𝛽32′𝛽33′][𝛽1′1𝛽1′2𝛽1′3𝛽2′1𝛽2′2𝛽2′3𝛽3′1𝛽3′2𝛽3′3]=𝐄由此能推出4𝛽𝑖′𝑗𝛽𝑗𝑘′=𝛿𝑖′𝑘′𝛽𝑘𝑖′𝛽𝑖′𝑗=𝛿𝑘𝑗这里考虑坐标变换就显得简单了，同样的，假设空间中任意向量𝒙，会有𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊（3-2-3）𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′（3-2-4）将（3-2-1），）（3-2-3）代入到（3-2-4）中，会有𝑥𝑖𝒆𝒊=𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′=𝛽𝑖′𝑗𝑥𝑖′𝒆𝒋上式左右两端均为三项求和式，整理可得∑(𝛽𝑖′𝑖𝑥𝑖′−𝑥𝑖)𝒆𝒊=𝟎𝑛𝑖=1由基底的线性无关性可得上式系数为0，即有𝑥𝑖=𝛽𝑖′𝑖𝑥𝑖′相似地，可以推导出𝑥𝑖′=𝛽𝑖𝑖′𝑥𝑖这样同样能推导出一组坐标单基底情况下基矢的变换方程及坐标的变换方程。3.关于基矢与坐标变换的一点说明在本节，通过假设两组参数𝛽𝑖′𝑗、𝛽𝑖𝑗′，我们导出了基矢变换4组方程，坐标变换4组方程，可以看出它们之间是有相互关联的。不仅如此，由于这两组参数满足其矩阵互逆的条件，只要已知其中一组参数，这所有基矢及坐标的变换关系也就可求了。以上的推导，仔细观察变换系数可以发现，一组坐标的变换系数，总是与其基矢的变换系数相反。对于协变基相应的坐标，它的变换系数是逆变变换系数；而对于逆变基相应的坐标，它的变换系数是协变变换系数。在这里出现了很多基矢、坐标、系数，上下标很复杂。个人认为这是看和张量有关的东西最麻烦的地方，我参考了一些教材采用了上述的上下标方式。它是有很大的好处的，记起来很方便。当两个因子相乘时，如𝑥𝑖′=𝛽𝒊𝑖′𝑥𝑖，右边因子的哑标总是一上一下，左边的自由标会与剩下的自由标同上下。可以看出，在基矢变换（如𝒆𝒊′=𝛽𝑖′𝑗𝒆𝒋），乃至于向量分解中（如𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊，不同的是坐标值没有另一个指标，但一上一下仍然是成立的），这个小规律都是适用的。这样对于公式的印象可能会更深一些。4.张量概念1.其使用意义先引用《矢量与张量分析》中的一段引言：自然界的运动法则以及新出现的几何或物理量是与坐标系无关的。但在处理具体问题时，总得引进一个比较方便的坐标系。这样一来，由于被研究的对象要加上一个偶然选择的坐标系。因而所得到的解析资料不仅反映出那些我们想要知道的东西，而且会反映出那些我们不想要的东西，这在理论研究中有时会引起不必5要的复杂化。（这里个人举个小例子，假设要研究某个向量，我们建了一个标准正交坐标系，在这个坐标系下它的坐标是（1，0，2）。我们知道，研究的时候，出现如0，1之类有特点的数，可能是具备某种性质的。那第二个坐标的0是否会有什么特别的意义？很显然是没有的，这个0产生的仅仅是由于坐标的选取，选取另一个坐标很可能坐标中就不含0了。也就是说，我们的研究对象，向量是不依赖于坐标系的，但向量的坐标分量，0，是依赖坐标的。）张量方法就是既采用坐标系而又摆脱具体坐标系影响的不变性方法。它使研究对象确实重要的部分与由坐标的选择而偶然导来的部分相分开。从而使物理概念更为明确。再引用广义相对性原理：一切物理现象在任何参考系中都相同。个人倾向于另一种更明确地说法：物理定律在任何参考系中都具有相同的数学形式。理解了这些，我们就能了解张量的作用及意义。下面就是张量概念的导出。2.协变张量假设有一向量的线性数量函数φ(𝒙)。对于函数是从三方面把握的：定义域、对应关系和值域。这个函数定义域是空间中所有向量，值域是一个数集，对应关系未知，就认为是φ(𝒙)。再来解释下线性，线性是指它满足以下的两条性质：对于任意向量𝒙𝟏，𝒙𝟐，有φ(𝒙𝟏+𝒙𝟐)=φ(𝒙𝟏)+φ(𝒙𝟐)对于任意数α，有φ(α𝒙)=αφ(𝒙)这里解释一下构造函数的原因。由上节可知，我们的目的是去找到描述不变量的一个方法（结果肯定是张量）。而不变量通常是某个方程中的某一项或某一因子，对于方程我们通通能用一个隐式φ(𝒙)=0描述。（忽略对于定义域值域的讨论，只要等号左右一样就行。）显然，上述的函数可以对应一类物理方程。举个最简单的例子，φ(𝒙)=𝒙∙𝒆𝒂可以求任意向量在𝒂向量上的投影。考虑坐标发生变换时的情况，由于𝒙=𝑥𝑖𝒆𝒊，显然会有φ(𝒙)=𝑥𝑖φ(𝒆𝒊)在变换后的新坐标中，𝒙=𝑥𝑖′𝒆𝒊′，有φ(𝒙)=𝑥𝑖′φ(𝒆𝒊′)这样我们可以用坐标的描述函数φ(𝒙)，记φi=φ(𝒆𝒊)，φi′=φ(𝒆𝒊′)。这样假设的好处是可以使用φ(𝒙)=φ𝑖𝑥𝑖=φ𝑖′𝑥𝑖′来计算φ(𝒙)，将矢量运算简化成在基底下的坐标运算。相当于用一组参数完全描述出该函数。我们再看所假设的“函数坐标”。φ𝒊′=φ(𝒆𝒊′)=φ(𝛽𝑖′𝑖𝒆𝒊)=𝛽𝑖′𝑖φ𝑖表征函数φ(𝒙)的参数φ𝑖与坐标系的基矢𝒆𝒊有着相同的变化关系。这里可以看出，φ(𝒙)是与坐标系无关的量（可以简单理解为一种结果为数的矢量运算，如φ(𝒙)=𝒙∙𝒆𝒂），但当坐标系变化时，其对于各基矢的分量总遵循着固定的规律，即有φ𝑖′=𝛽𝑖′𝑖φ𝑖因而φ是一个一阶张量。特别的，由于它的各分量与相应的坐标系基矢的变换方式相同，我们称它为协变张量。协变是指张量分量变化规律与基矢相同。把上述概念进行一个推广，更一般给出𝑛维𝑘阶协变张量的定义：一个量，在任意坐标系中都能用𝑘个指标编号的𝑛𝑘个有序数𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑘表示，当发生坐标变换时这些数服从𝑎𝑖1′𝑖2′…