高等代数北大版2-6

一、余子式、代数余子式二、行列式按行(列)展开法则§2.6行列式按一行（列）展开引入,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa2223113233aaaaa可见，三级行列式可通过二级行列式来表示．2123123133aaaaa2123133133aaaaa§2.6行列式按一行（列）展开一、余子式、代数余子式定义在n级行列式中将元素所在的ijadet()ija第i行与第j列划去，剩下个元素按原位置2(1)n次序构成一个级的行列式，1n111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素的余子式,记作．ijMija§2.6行列式按一行（列）展开(1)ijijijAM令称之为元素的代数余子式．ijaijA注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．②元素的余子式和代数余子式与的大小ijaija§2.6行列式按一行（列）展开元素除外都为0，则ija.ijijDaA1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n级行列式D=的中第i行所有det()ija§2.6行列式按一行（列）展开证：先证的情形，即ijnnaa111,111,11,11,00nnnnnnnnnaaaDaaaa由行列式的定义，有112112()121,(1)nnnnjjjjnjnjjjjDaaaa1112111()121,(1)nnnjjnjjnjnnjjnaaaa111111()11,(1)nnnjjnnjnjjjaaa§2.6行列式按一行（列）展开111,11,11,1nnnnnnaaaaa.nnnnaAnnnnaM结论成立。一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnnjnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa§2.6行列式按一行（列）展开111,11,1111,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1,1(1)(1)0000jjnjiijijinijninjiijijinijnnjnjnnnjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(1)ijijijaM2()(1)nijijijaM(1).ijijijijijaMaA结论成立。111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1(1)0000jjjniijijijinniiijijijinnnjnjnjnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa§2.6行列式按一行（列）展开2.定理行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122jjjjnjnjDaAaAaA1122iiiiininDaAaAaA1nikikkaA1,2,,in1nkjkjkaA1,2,,jn或行列式按行（列）展开法则§2.6行列式按一行（列）展开证：111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa1122iiiiininaAaAaA11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaani,,2,1§2.6行列式按一行（列）展开例1.计算行列式3112513420111533D解：11130153D51100051151111115505116205501362(1)5540§2.6行列式按一行（列）展开例2.证明范德蒙行列式1232222123111111231111()nnnijjinnnnnnaaaaaaaaDaaaaaa§2.6行列式按一行（列）展开证：用数学归纳法.时，211211.aaaa2n01假设对于级范德蒙行列式结论成立．即1n02结论成立．121222121111222121111()nnnijjinnnnnaaaaaaDaaaaa§2.6行列式按一行（列）展开把从第n行开始，后面一行减去前面一行的nD倍，得na1212221122111212121122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa下证对于n级范德蒙行列式结论也成立.nD§2.6行列式按一行（列）展开1212221112211121212112211(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1212221121121222121111(1)()()()nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa§2.6行列式按一行（列）展开121222121121222121111()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa1()ijjinaa范德蒙行列式中至少两个相等．120,nnDaaa注：12111()()()()nnnnijjinaaaaaaaa1nD§2.6行列式按一行（列）展开3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninjaAaAaAij11220,ijijinjnaAaAaAij§2.6行列式按一行（列）展开证行展开，有按第把行列式jaDij)det(11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaAaaaa可得换成把),,,1(nkaaikjk§2.6行列式按一行（列）展开11111111,niinijinjniinnnnaaaaaAaAaaaa行第j行第i相同11220,ijijninjaAaAaAij11220.ijijinjnaAaAaA∴当时,ij同理可证,§2.6行列式按一行（列）展开10nikjkkDijaAij10nkikjkDijaAij综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：§2.6行列式按一行（列）展开例3.设求35211105,13132413D解：11121314AAAA11111105131324134.和11213141.MMMM11121314AAAA§2.6行列式按一行（列）展开11213141MMMM11213141AAAA15211105131314130.§2.6行列式按一行（列）展开例4.证明：111111111111111111110000kkrkkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb证：对k用数学归纳法.11111111100rrrrracbbcbb时，等式左边1k1)§2.6行列式按一行（列）展开按第一行展开，结论成立．假设,即左边行列式的左上角为2)1km时，按第一行展开km3)阶时等式成立.1m1111111111110000mmmmmrrrmrrraaaaccbbccbb222211121111210000...mmmmmrrrmrrraaaaaccbbccbb§2.6行列式按一行（列）展开212121211111111111111111110000(1)...iimimmimimmiiimrrririrmrrraaaaaaaaaccccbbccccbb2121111111111111110000(1)mmmmmmmrrrmrrraaaaaccbbccbb§2.6行列式按一行（列）展开222212121211112111(1)miimiimmmmmimimmaaaaaaaaaaaaaa11111111mrmmmrrraabbaabb212111111111(1)mrmmmmmrrraabbaaabb§2.6行列式按一行（列）展开练习：1.计算行列式001000.000100naaDaa123123123123,aaafbbbfDcccfdddf11213141.AAAA2.设求答案：21.2.0nnaa