课题：数列的概念与简单表示法.doc

1课题：数列的概念与简单表示法谭克明（湖北省恩施高中）一、教学设计1．教学目标分析《数学课程标准》中要求学生从函数角度来理解数列，并体会数列是反映自然规律的基本数学模型.在本章学习中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.本节课作为章节起始第一节课，力图通过对日常生活中的实例的研究，让学生初步感知整章所涉及的数列模型，激发学生的学习兴趣；并使学生从中抽象概括出数列的概念，提高学生抽象概括的能力.作为全新的一个概念的建构，课本通过若干具体数列的展示，让学生从中学习数列的相关基本概念及分类，能有效的弱化告知式的概念教学；通过类比，使学生从函数角度来理解数列，并在此基础上类比出数列的简单表示方法，由此引导学生明确通项公式的研究价值，从而启发学生探求数列的通项公式.如此安排，可培养学生类比学习能力，并让学生形成较好的知识研究框架.根据以上分析，确定教学目标如下：（1）通过实例的数列模型建构，使学生形成、了解数列的概念及数列的简单分类，培养学生抽象概括能力；（2）根据具体数列的探究，结合函数概念，使学生能从函数角度来理解数列，了解数列是一列函数值和数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），并能写出一些简单数列的通项公式.培养学生类比的学习能力，以及让学生形成较好的知识研究体系；（3）从日常生活中实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用，培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识.2．教学内容解析本课内容为人教A版《普通高中课程标准实验教科书A版·数学5必修》第28页——数列的概念和简单表示法，是第二章内容的起始第一节课.本章主要内容是在数列概念的建构下，研究两类常见的特殊数列——等差数列、等比数列.通过类比学习，发现其递推关系，探索并掌握其通项公式和求和公式；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.本课内容正是对本章学习的基础建构，不管从方法还是知识上都起着导向性的作用.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：（1）通过把实际问题转化为数列模型，了解数列的概念，认识数列的研究源于现实生产、生活的需要；（2）通过具体数列的研究，了解数列的简单表示方法（列表、图象、通项公式），并能根据数列特征写出一些简单数列的通项公式.3．教学问题诊断2本章学习是高中阶段学习的第三个模块，学生已基本适应高中的数学学习.虽然数列是比较独立的一章，但本节课涉及数列与函数的区别和联系，而学生对于函数概念的理解是一个难点，所以本节课的教学难点确定为：认识数列可看成一列函数值，发现数列与函数之间的关系．4．教学对策分析为了有效地实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，在教学过程中采用启发式教学——以若干实例的呈现，层层引导，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力；通过对一些具体数列的展示，激发学生学积极性；通过组织小组合作讨论，鼓励学生去探究、去思考，培养学生发现解决问题的能力.5．教学基本流程6．教学过程设计宇宙这部大书是用数学语言写成的。如果不懂数学，人们就只能在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着.——伽利略【设计意图】用伽利略的名言引领学生进入奇妙的数学世界（一）创设情景，引入课题1．有人说大自然是懂数学的（通过图片展示著名的斐波那契数列）1，1，2，3，5，8，13，…2．一尺之棰，日取其半，万世不竭1111,,,24816，…3．我国奥运健儿1984年到2008年每届奥运会获得的金牌数15，5，16，16，28，32，514．6个正方形面积分别为10，9，8，7，6，5.这六个正方形的边长依次为10,3,22,7,6,55．通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降6.5摄氏度，现1km高度气温是8.5摄氏度，则从1km高度到10km高度的气温依次是8.5,2,4.5,11,50创设情景、引入课题合作讨论、探求新知类比学习、把握本质知识应用、提高能力师生交流、归纳小结作业设置、温故知新3【设计意图】用实际生活中所抽象概括出的数列作为章节引入，能让学生体会数列是源出于生产生活的，是反映自然规律的重要数学模型。而这其中又涉及本章重点要研究的等差、等比数列模型、体现递推的典例斐波那契数列，能让学生在了解本章内容的相关背景和应用价值的同时，初步认识全章的知识脉络体系及其与其他知识的纵横联系，又能以其趣味性及数学的应用意识激发学生的学习本章的兴趣和研究欲望.（二）合作讨论、归纳概念1．利用引入的5个数列，教师引导学生观察其共同特征，并归纳总结出数列的概念.（1）1，1，2,3,,5,8,13,（2）1111,,,,24816（3）15,5,16,16,28,32,51（4）10,3,22,7,6,5（5）8.5,2,4.5,11,50教师板书:（数列:按照一定顺序排列的一列数叫数列）相关概念:项、首项、第n项；数列的一般写法:123,,,,,naaaa，简记为{}na问题：你能举出几个数列吗？（关注学生所举例子，可通过学生的例子解读数列）辨析：1，1，1，1，…是数列吗?10，20，30与30，20，10是否为同一数列呢?（概念辨析时注意学生对数列记法的符号理解，可能学生会把{}na理解成集合，这时加以强调，并可以由此展开对数列和集合的区别的理解.让学生自己阐述集合的特点以及数列与其联系与区别.【设计意图】用前面的具体数列来与学生共同分析数列的特点，引导学生抓住数列的基本特征，通过教师板书规范数列的概念及一般记法.让学生自己列举数列，一方面可巩固数列概念，也可让学生体会数列在生活中处处存在，另一方面，可从学生所举数列中挖掘辨析数列概念的例子，加深学生对概念的理解.2．讨论：你能找到合适的分类标准对下列数列进行分类吗？（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，4,（2）1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132（3）无穷多个3构成的数列3，3，3，3，3，3,（4）目前通用的人民币面额按大到小的顺序构成数列（单位：元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01（5）1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂......构成的数列1,1,1,1,（学生可能有不同的思考方向，主要引导学生能按照两类标准进行简单的数列分类）教师简单板书：数列的分类：按项数是否有限：有穷数列、无穷数列按相邻项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列4【设计意图】充分发挥学生的主体性，培养学生的分类意识，通过课本的例子加以练习，旨在让学生能对具体数列进行分类.对于数列（5）还可为后面的例题求通项公式奠定基础.（三）类比学习、把握本质问题1数列2,5,8,11,14与数列2,5,8,11,14,有何区别？（学生因为有分类的学习，会自然的说区别是一个有穷一个无穷，教师可引导学生指出其有穷无穷的本质在于一个序号从1取到5，另一个是取所有的正整数.为后续说明数列可看成以正整数集（或它的有限子集为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值埋下伏笔）问题2数列2,5,8,11,14,中序号和项之间有何对应关系？与我们前面所学的哪个概念有一定的关联呢？（看学生的具体情况，可从映射的形式引导学生往函数的概念上发展）问题3一般地，数列{}na中123,,,,,naaaa与序号n是否也存在着上述关系呢？问题4可否从函数的角度来理解数列呢？引导学生从具体数列到一般记法的数列中观察序号n与na之间的对应关系，发现其与所学函数概念的关系，和学生一起归纳出“数列可看成一列函数值”（板书）.多媒体投影课本上对数列是一列函数值的更加精确的表述：数列可以看成以正整数集*N（或它的有限子集{1,2,,}n）为定义域的函数()nafn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.问题5你能从函数的角度来说明数列10，20，30与数列30，20，10不是相同的数列吗？【设计意图】培养学生从特殊到一般以及类比联想的数学思维，并通过问题5加深对数列概念的理解以及从函数角度来理解数列的更加具体、直观的印象.问题6若函数()31fxx中自变量x取哪些值时，可以得到相应的一个数列呢？问题7你能写出数列2,5,8,11,14,中任一项na与序号n之间的一个关系式吗？问题8什么是数列的通项公式？多媒体投影：如果数列{}na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.可简单板书：()nafn【设计意图】让学生从函数解析式中得到相应数列，既能再次体会数列与函数的联系又能为找到相应数列的通项公式埋下伏笔，并能体会通项公式的本质特征.问题9类比函数的表示，你能用几种不同的方法来表示一个数列呢？数列的图象有何特征？（引导学生通过作图得出结论）多媒体投影：数列的简单表示法：列表法、图像法、通项公式法数列的图象是一系列孤立的点（教师可总结性的语言：类比函数的学习，函数有三种表示方法，数列也有三种表示方法，但其图象是一系列孤立的点）【设计意图】前面已经让学生从函数的角度来理解数列，用上述问题培养学生的类比联想学习的能力，由此可以轻松得出数列的三种表示法，通过学生作图，引导其发现数列的图像和函数的不同，但同时又有联系.（四）知识应用、提升能力练习：根据题目所给信息填表：5问题102011是否为该数列的项？通过该数列的通项公式你还能得出它的什么特征？问题11数列的通项公式有何用途呢？【设计意图】通过该练习让学生能体会到具体数列中如何确定数列的项以及如何确定一个数是数列的第几项，并再次巩固数列中的序号*nN.通过问题11能提升学生从具体到一般的归纳能力.同时让学生体会到通项公式和函数解析式一样重要.例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列数.（1）1，4，9，16（2）1，111,,234变式：1111,,,234合作学习：每个同学写出两个数列，并由同桌写出其通项公式问题12数列的通项公式是否唯一呢？是否所有的数列都有通项公式呢？【设计意图】通过例1中（1）和（2）的教学加深学生对一些简单数列通项公式的找寻，并用变式来体会数列的通项公式不唯一；通过合作学习，让学生体会有些数列的通项公式可能不存在.（五）师生交流、归纳小结1．生活中处处有数列2．数列的概念3．数列的分类4．从函数的角度来理解数列，数列可看作一列函数值5．数列的三种表示法（通过学生的表述，让学生自己梳理本节课的重点知识和数学思想，教师做补充，并对生活中处处有数列再做一些阐述；回到章节引入时的数列1111,,,,24816，和8.5,2,4.5,11,50，从函数角度理解数列，这两类数列与指数函数和一次函数的联系，告知学生所对应的数列就是本章要重点研究的数列模型——等差、等比数列.【设计意图】让学生自己先归纳总结，既能考察学生的学习掌握情况，也能培养学生的归纳总结能力，教师做相应的归纳既首尾呼应又能对本章接下去的学习给学生一个方向上的指引.（六）作业设置、温故知新1．课本33页习题A组1，2，3，2．从函数的角度理解数列的通项公式不唯一3．阅读课本32页——阅读与思考《斐波拉契数列》【设计意图】作业1让学生在练习的过程中巩固本节的主要知识技能，作业2可提升学生的知识迁移能力，让学生更深层次的从函数角度来理解数列，作业3使学生在自主学习过程中感受斐波拉契数列的递推关系，为下节课递推公式的学习做铺垫.思考题：如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，其中11223781OAAAAAAA，记1238,,,,OAOAOAOA的长度依次组成的数列为n12……nna…129…3(34)n6{}