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§2自然数一、自然数的公理化系统二、自然数的运算三、自然数的顺序四、自然数的性质五、数学归纳法(一)公理化方法所谓公理化方法,就是从尽可能少的原始概念和一组公理出发,运用逻辑规则,去定义其它概念,证明其它命题,把一门理论建成演绎系统的方法.一、自然数的公理化系统(二)自然数的公理化系统定义非空集合N*中的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′),并满足下列公理:(1)1∈,1不是N*中任何元素的后继元素;(2)对N*中任何元素a,有唯一的a′∈N*;(3)对N*中任何元a,如果a≠1,则a必后继于N*中某一元素b;(4)(归纳公理)如果M是N*的一个子集,且①1∈M;②若a∈M,则a′∈M.那么,M=N*.*N罗马数字罗马数字是古代罗马人创造的。十三世纪以前,欧洲各国普遍使用罗马数字来计数。这种数字只有七个:Ⅰ(表示1)Ⅴ(表示5)Ⅹ(表示10)L(表示50)C(表示100)D(表示500),M(表示1000)这七个罗马数字在计数时,不论排列在什么位置上,它本身所表示的数目始终不变。罗马数字没有0。二、自然数的运算定义自然数的加法是指这样的对应:对于每一对自然数a、b,有且仅有一个自然数(记为a+b)与之对应,且具有下列性质:(1)对任意a∈N*,a+1=a′,(2)对任意a、b∈N*,a+b′=(a+b)′,其中a、b称为加数,a+b称为a、b的和.(一)自然数的加法定义(二)自然数的加法满足结合律与交换律定理1自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何a、b、c∈N*,有(1)a+(b+c)=(a+b)+c;(2)a+b=b+a.(三)自然数的乘法定义定义自然数的乘法是指这样的对应:对于每一对自然数a、b,有且仅有一个自然数(记为a·b)与之对应,且具有下述性质:(1)a·1=a;(2)a·b′=a·b+a.这里a、b称为乘数,a·b称为a、b的积.(四)自然数乘法满足的运算律右分配律(a+b)·c=a·c+b·c交换律a·b=ba左分配律c·(a+b)=c·a+c·b结合律a·(b·c)=(a·b)·c(五)自然数的减法与除法的定义定义设a、b∈N*,如果存在x∈N,使b+x=a,则称x为a减去b的差,记作a-b,a叫做被减数,b叫做减数,求两数差的运算叫做减法.定义设a、b∈N*,如果存在x∈N*,使b•x=a,则称x是a除以b的商,记作a/b,a叫做被除数,b叫做除数,求两数商的运算叫做除法.三、自然数的顺序关系定义6设a、b∈N*,如果存在一个自然数k,使a=b+k,就说a大于b,记为a>b;或说b小于a,记为b<a.定理5自然数集中的关系“>”满足下列性质:(1)(反自反性)a≯a,a∈N*.(2)(传递性)若a>b,b>c,则a>c.(3)(全序性)对于N中任两个数a、b,a>b,a=b,b>a有且仅有一种成立。定理6自然数集中的顺序关系“>”满足加法和乘法的保序性.即(1)若a>b,则a+c>b+c;(2)若a>b,则a·c>b·c.性质1在自然数集中,消去律成立.即(1)若a+c=b+c,则a=b;(2)若a·c=b·c,则a=b.性质2在自然数集N*中,1是最小数,即对于任何自然数a,a≥1.四、自然数的性质性质3(自然数的离散性)任两个相邻的自然数a与a′之间,不存在自然数b,使得a′>b>a.性质4(阿基米德性质)对任意自然数a、b,必有自然数n,使na>b.性质5(最小数原理)N*的任何一个非空子集必有最小数.证明用反证法.设非空集合AN,但A没有最小数.令所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M.因为1是自然数集N*的最小数,而A没有最小数,所以,A这说明1∈M.假设m∈M,现在设法证明m′∈M.事实上,如果m′M,则存在a1∈A,使a1≤m′.又因A中没有最小数,故存在a2∈A,使a2<a1≤m′,于是a2≤m,与m∈M矛盾.所以M=N.因为A非空,A中至少有一数t,且t∈N=M,由集M的定义知t<t,矛盾,所以集A有最小数.(一)、数学归纳法第一基本形式设f(n)是一个与自然数有关的命题,如果(1)f(l)成立;(2)若f(k)成立,则f(k′)成立.那么,f(n)对一切自然数n都成立.五、数学归纳法(二)、数学归纳法第二基本形式设f(n)是一个与自然数有关的命题,如果(1)f(1)成立;(2)假设f(m)对所有小于k(k>1)的自然数m都成立,那么,f(k)也成立.那么,f(n)对一切自然数n都成立.
本文标题:§2 自然数
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