第09讲 恒定电流的场(4)

第09讲恒定电流的场（4）本节内容:1,磁场能量2，磁场力3，本章小结一，磁场能量磁场对场中的运动电荷和载流导线有力的作用，说明磁场中储存着能量。这些能量是磁场建立的过程中由电源提供的。对恒定磁场，磁场能量仅与最后的磁场有关，而与磁场的建立过程无关。图1磁场的能量02i，2i保持不变，1i逐渐变大。计算步骤：（1）为便于计算，设0t时，两回路1C、2C中均无电流，即01i，02i（2）随时间的增长，1i、2i按以下规律增长到最终的1I、2I；（3）先保持02i，1i由0增加到1I。然后保持11Ii，2i从0增加到2I。（1）设在时刻t，1C上电流为1i，经dt，1i增加1id，相应地有1dB，11d和12d。由法拉弟电磁感应定律，两回路中的感应电动势分别为：tdd111，tdd122。1将阻止1i增加，2使2C中2i变化。要使1i增加，必须在1C中外加电压tddu1111；要使2i保持为0，必须在1C中外加电压tddu1222。这样在td内，外电源所做的功为：111111111idiLditdidW∵02i，故2u不做功。在1i从0～1I的过程中，外电源做的功为：211011111211ILidiLdWWI图2磁场的能量11Ii，保持不变，2i逐渐增大（2）在保持11Ii，2i从0变到2I的过程中，在t时刻电流为2i，2i增加2id，2dB，22d，21dtdd211，tdd222要维持1I不变，1C中须加11u，2C中须加22u。外电源做功：21211211121idIMtdItddtdIudW2222222222idiLtditddtdiudW2i从0～2I：21210212121212IIMidIMdWWI22220222222212ILidiLdWWI（3）所以在总的磁场建立过程中：212121222221112121IIMILIL12222211112121IMILIIMILI12222211112121II22112121II类似地，对多个回路有：NiiimIW121如果只有一个回路，则22121LIIWm，如果能通过某种方法先求出mW，可由此求出回路的自感。NiiimIW121上式是计算N个电流回路系统总磁能的公式。这个公式容易给人一种印象，似乎磁能是集中在有电流的导体内和回路所包围的面积上。但实验指出，如果在这些回路之外再引入另外一个试探电流回路，它将受到作用力而运动。这说明，磁场能量储存于磁场存在的空间，即在磁场不为零的地方就存在磁能。因此，还必须从上式出发寻找磁能与磁场B、H的关系。在N个电流回路的磁场中，穿过第i个电流回路的总磁链可表示为iiiCSSildAsdAsdB带入得：NiCiNiCimiildIAldAIW112121为了使磁场能量的表示式更有普遍性，设系统的电流分布在一个有限的体积'V内，可用'JdV来代替dlIi，用体积分来代替式中的线积分求和，则上式变为：''m1d2VWAJV''1d2VAHV上式中利用了恒定磁场的安培环路定律JH，体积分区域可以由'V扩大到整个空间V而不会影响它的数值，因为'V以外的区域里0J，这部分体积分的数值是零，所以式可写成：应用矢量恒等式AHHAAH)()(，又考虑到在恒定磁场中BA，代入式得m1d2VWAHVm11d22VVWHAVHBdV但根据高斯散度定理，有所以：其中S是包围整个空间V的闭合面。由于H随21R变化，A随R1变化，面积S随2S变化，上述R是分布电流的'V内任一点到S上任一点的距离，因此上式中的第一项的面积分当R趋于无穷大时趋于零。dsAHdvAHSV)()(HdvBdsAHBdvHdvAHWVSVVm21)(2121)(21上式变为：这里的积分范围是全部有磁场的空间。也就是说，凡是磁场不为零的空间都储存着磁场能量。可类似于静电场用能量密度表示磁场能量：HBwm21m1d2VWHBV对体电流，导体分为许多电流管，每个电流管看作一个回路；对面电流，导体片可分为许多电流带，每个电流带看作一个回路，如下图。对于体电流：dVJldIiVmdVJAW21Iild对于面电流：dsJldIsiSsmdsJAW21Iild能量密度为：HBwm21在各向同性线媒质中，HB，则：221Hwm例题：如图同轴线内、外导体在两端闭合形成回路,并通有恒定电流I,当外导体的厚度忽略不计时,试求单位长度的储能。abII解法1:)/(141412821212020021mJabnIIabnLIWm解法2:所以单位长度的储能是22221IHaIH0＜ρ＜a0＜ρ＜b)/(14141416)2(221)2(221212102020202200220210121mJabnabnIIdIdaIdvHdvHdvwWbaaVVmVm二，磁场力一般情况下，通电回路在磁场中受的力，可以用安培定律来计算，但是许多问题利用虚位移法比较方便。虚位移法的基本思想：假设某一个电流回路在磁场力的作用下发生了一个虚位移，这是电路的互感要发生变化，磁场的能量也要发生变化，根据能量守恒定律，求出磁场力。1)磁通量保持不变,即电源不供给产生磁场系统的能量,各个回路中的感应电势为零，所以电源不作功。磁场力作的功必来自磁场能量的减少。如将回路C1受到的磁场力记为F，它作的功为F·Δr，所以写成矢量形式，有rWFWrFmrmmWF2)电流保持不变,则电源供给系统能量,各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。在回路Δr产生位移时，电源作功为磁场能量的变化为这时,磁场力所做的功等于磁场能量的增加,而该二者都是由电源提供的。2211IIWb)(212211IIWmImmmbWFWrFrFWW例两根半径为a,距离为d的无限长平行细导线,ad,通有大小相等、方向相反的电流I,如图4-34所示。试求二导线的相互作用力。解：221LIWm由前例已求得穿过单位长度双导线构成平面的磁通量:两导线间磁场作用力是aadnILaadnI1100)()(21212202002.NadIaadaIaadndIdWFconstImx例：设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图所示)。设bz,lz，求上面一片导体板面电流所受的力。解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为00sxJeB，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z。磁场能为：假定上导体板位移时，电流不变：这个力为斥力。lbzJBHVWSm20002121lbJezWeFSzmz20021三，本章小结1.欧姆定律与焦耳定律的微分形式rErJ2.恒定电场的基本方程EJldESdJlS00EJEJ003.恒定电场的边界条件ttnnEEJJ2121nn2211214.磁场与磁感应强度lrrrrldIrB304VVdrrrrrJrB304SSdrrrrrJrB3045.磁通连续性原理0)(SsdrB0B6.真空中的安培环路定律IldBl0对于某些特殊分布的电流，可用安培环路定律求磁感应强度。7.安培环路定律的一般形式MBH0磁场强度JHIldHl8.恒定磁场的基本方程和边界条件0SSdB或0BIldHl或JHHBnBnB21或nnBB21△S1B2Bn12h△l1H2Htn12hsJHHn129.电感11111IL11212IM10.磁场能量HBwm21221Hwm11，磁偶极子304rrmrA35034rmrrrmrB其中SIm称为磁偶极子的磁矩。12，磁矢位与磁标位ABmH线电流：ldrrIAl40面电流：SdrrrJASS40体电流：VdrrrJAV40