正态总体的均值和方差的假设检验

下回停一、单个总体参数的检验第二节正态总体均值与方差的假设检验二、两个总体参数的检验2°取检验统计量一、单个总体参数的检验检验法）的检验（为已知，关于Uμσ2.1的一样本，是来自正态总体设),(,,,2021σμNXXXn已知，检验步骤：未知，其中20,σRμμ0~0,1;/XUNn(当H0为真时);:,:10100μμHμμH假设3°给定显著水平(01)∴拒绝域：W1={(x1,x2,∙∙∙,xn)：|u|u/2}；/2{||}PUu.21Φ2/2/ααuαu，查表可得由其中u=U(x1,x2,∙∙∙,xn)4°由样本值算出U的观察值10105:.uWHuWH判断若，则拒绝；若，则接受0;/xn例1解本题归结为检验假设(1)(2)选择统计量940800XU770XMpa,问能否认为这批钢索的断算出裂强度为800Mpa.某厂生产一种钢索,断裂强度X(单位:Mpa);800:,800:10μHμH测件从一批产品中抽取服从正态分布,9),40,(2N409n，当H0成立时,U~N(0,1).(3)给定显著性水平=0.05,由正态分布函数表查得u/2=u0.025=1.96,从而得检验的拒绝域为W1={(x1,x2,∙∙∙,xn):|u|u0.025=1.96}；(4)由样本值计算U的观测值为800770800932.25;4040xu不能认为这批钢索的断裂强度为800Mpa.(5)判断:由,故拒绝原假设H0,即96.125.2||u2°取检验统计量0~(1);/nXTtnSn)(0为真时当H3°给定显著水平(01)).1(,)1(||2/2/ntntTP查表可得的一样本，是来自正态总体设),(,,,221σμNXXXn的步骤为：，检验未知，检验水平为其中μασμ2,检验法）的检验（为未知，关于tμσ2.2;:,:10100μμHμμH假设拒绝域：W1={(x1,x2,∙∙∙,xn)||t|t/2(n-1)}；),,,(21nxxxTt4°由样本值计算T的观察值；，则拒绝若01HWt.01HWt，则接受若5°进行判断:0~(1);/nxttnsn解例2某型灯泡寿命X服从正态分布,从一批灯泡能否认为这批灯泡平均寿命为1600h(=0.05)？1750，1550，1420，1800，15801490，1440，1680，1610，1500中任意取出10只,测得其寿命分别为(单位:h)本题是要检验假设01(1):1600,:1600HHnSXTn/16002(2)由于方差未知，故选择统计量当H0成立时,T~t(n-1)=t(9).给定=0.05,查t分布表得临界值(5)判断：由于|t|=0.4432.262=t0.025(9),因此可以接受H0,即可以认为这批灯泡的平均寿命1600h..262.2)9()1(025.02/tntα2*22111582,()16528.891nniixSxnxn求得故443.01089.1652816001582t(4)由所给的样本值(3)拒绝域为W1={(x1,x2,∙∙∙,xn):|t|t0.025(9)=2.262}1W2°取检验统计量)(0为真时当H222200101:,:;HH假设.20为已知常数其中σ的一样本，是来自正态总体设),(,,,221σμNXXXn步骤为：，检验未知，检验水平为其中22,σασμ的样本，为来自总体XXXXn,,,212*2220(1)~(1);nnSn检验法）的检验（为未知，关于22.3χσμ3°给定显著水平(01),查表得临界值：拒绝域：,122/nχα122/1nχα,2}1{)}1({22/222/12αnχχPnχχPαα)}1(:),,,{(22/12211nχχxxxWαnOxy)1(22/n2)(2xpyχ)1(22/1n22212/2{(,,,):1};nxxxn4°由样本值算出的观察值2χ220100105.WHWH判断：若，则拒绝；若，则接受拒绝域：)}1(:),,,{(22/12211nχχxxxWαn问：若总体的均值已知,则如何设计假设检验？.)(~)(22122可类似进行检验构造nχσμXχnii}.1:),,,{(22/221nχχxxxαn2*2020(1)nns；解检验假设例3某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分数的方差仍为0.1082（=0.05）？),1(~)1(220*22nχσSnχn)(0为真时当H222201(1):0.108,:0.108,HH(2)取检验统计量：服从正态分布,现对操作工艺进行了改),(2σμN(3)拒绝域为:,1.11412025.022/χnχα.484.0412975.022/1χnχα}484.0:),,,{(25211χxxxW,108.0220σ又22**201220(1)(51)(4)17.8511.10.108nnnssW(5)∴拒绝H0,认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分数的方差与0.1082有显著性差异.}.1.11:),,,{(2521χxxx或由n=5,=0.05算得,1.方差已知时两正态总体均值的检验),,(~211NX设总体),,(~222NY,独立与YX,),,,(121XXXXn来自总体样本.),,,(121YYYYn来自总体样本二、两个总体参数的检验检验法）未知的检验（为已知Uμμσσ212221,,,注意与一个总体的区别0121121:,:;HH假设22121212(())/~(0,1);UXYNnn)(0成立时当H.3α取显著性水平为,}{2/uUP.21)(2/2/ααuαuΦ，查表可得由4U由样本值算出的值拒绝域:W1={(x1,x2,∙∙∙,xn,y1,y2,∙∙∙,yn)：|u|u/2}；10105.uWHuWH判断：若，则拒绝；若，则接受取检验统计量为22111~(,)XNn2222~(,)YNn221212()/;uxynn例4问,80,60),,(~),,(~2221222211σσσμNYσμNX甲一两台机床生产同一种产品,今从甲生产的产品种抽取30件,测得平均重量为130克,从乙生产的产品中抽取40件,测得平均重量为125克.假定两台机床生产的产品重量X,Y满足相互独立且两台机床生产的产品重量有无显著差异(=0.05)？解本题归结为检验假设012112(1):,:,HH221212(2)()/~(0,1)UXYNnn检验的统取为计量)(0成立时当H,05.0α给定96.1,975.0)(025.02/025.0uuuΦα查表可得由(3)拒绝域:W1={(x1,x2,∙∙∙,xn,y1,y2,∙∙∙,yn)||u|u/2=1.96},221212130125(4)()/2.560803040uxynn：统计量观察值0(5)||2.51.96,.uH拒绝原假设2取检验的统计量为1221212()~(2);11/(2)wUXYTtnnnnSnn2.方差未知时两正态总体均值的检验检验法）未知的检验（未知但tμμσσσσ21222221,,,0121121:,:;HH假设)(0成立时当H2212**1212(1)(1)(2)nnWnSnSSnn3°给定显著水平(01)，})2(||{212/nntTP拒绝域：4T由样本值算出的观察值10105.tWHtWH判断：若，则拒绝；若，则接受11212/212{(,,,,,,,):||(2)};nnWxxxyyyttnn22121212**1212()(2);(1)(1)nnxynnnntnnnsns某种物种在处理前与处理后取样分析其含脂处理前:0.19,0.18,0.21,0.30,0.66假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立,例50.19,0.04,0.08,0.20,0.12处理后:0.15,0.13,0.00,0.07,0.24,0.42,0.08,0.12,0.30,0.27（=0.05）?方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异率如下:,49.2)2()1()1(212121212221nnnnnnsnsnyxtnn由样本值求得统计量T的观测值以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在2221σσ2221σσ，由题知未知,但于是问题归结处理后的含脂率,且),(~),,(~222211σμNYσμNX为检验假设211210:,:μμHμμH解故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值对自由度n1+n2-2=18,=0.05,查t分布表得临界值有显著差异。/2120.0252182.10tnnt0.0251||2.492.1018,ttW由取检验的统计量为222112222*2*11112*2*222(1)/(1)~(1,1);(1)/(1)nnnnnSnSFFnnnSnS3.两正态总体方差的检验22220121121:,:;HH假设)(0成立时当H2212*22*2211112122(1)/~(1),(1)/~(1)nnnSnnSn12,未知),,(~211NX设总体),,(~222NY,独立与YX3°给定显著水平(01)/2121/212{(1,1)}{(1,1)}2PFFnnPFFnn，/2121/212/2211(1,1),(1,1).(1,1)FnnFnnFnn拒绝域：121121201/212{(,,,,,,,):(1,1)}nnWxxxyyyFFnn212120/212{(,,,,,,,):(1,1)};nnxxxyyyFFnn查表得4°由样本计算F的值2212**0/;nnFss5°判断若则拒绝H0,若则接受H0.01FW01FW试问两种情形下断裂强度方差是否相同(=0.05)？例6为了考察温度对某物体断裂强度的影响,在70℃与80℃下分别重复作了8次试验,得断裂强度的数据如下(单位：Mpa):70℃:20.5,18.8,19.8,20.9,21.5,19.5,21.0,21.280℃:17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1假定70℃下的断裂强度用X表示,且服从);,(211σμN80℃下的断裂强度用Y表示,且服从).,(222N本题实质上是检验假设根据所给样本值求得解22210:σσH22211:σσH8,4.19,4.2021nnyx,20.6)(812iixx80.5)(812iiyy720.621*1ns780.522*2ns2122126.201.07,5.80nnSFS于是0.025774.99,F，0.9750.02511770.20774.99FF，，对=0.05，由F分布临界值表查得010.201.074.9