反比例函数面积问题(公开课)

反比例函数的应用—与面积有关的问题P(m,n)如图,点P（m，n）是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=________.xyOxkyAB过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值，即S=|k|.探究1结论1：|k|).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPBxyO图中的这些矩形面积相等，都等于|k|结论：图中的这些矩形面积相等吗？思考xky图中面积相等的图形有哪些？练习1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,则阴影部分面积为_____.xyOMNP练习y=-3x3反比例函数与矩形的面积变式1：如图,点A、B是双曲线上的点，过点A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，若S阴影=1，则S1+S2=________.3yxxyABO1S2S422反比例函数与矩形的面积O变式2：如图，A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为.1yx3yxE2反比例函数与矩形的面积变式3:如图，点A是反比例函数y＝－6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为()A．1B．3C．6D．12C反比例函数与矩形的面积P(m,n)如图,点P(m,n)是反比例函数图象上的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，则S△PAO=________.xyOxkyA探究22kB如果是向y轴作垂线,垂足是点B，则S△PBO的面积是_____.xyOB思考1结论2：过双曲线上任意一点作x轴(或y轴）的垂线，所得直角三角形的面积S为定值，即S=.|k|12P(m,n)2kAxyO图中的这些三角形面积相等，都等于结论：图中的这些三角形面积相等吗？|k|12思考2xky图中面积相等的图形有哪些？练习2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为____.xy2PDoyx1反比例函数与三角形的面积练习变式1：如图，过反比例函数图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，若⊿COE面积为1，则梯形ECDB的面积与⊿AOE的面积和为8)0(10xxy反比例函数与三角形的面积PDOyx练习3：如图,点P是反比例函数图象上的一点,且PD⊥x轴于D.如果△POD面积为3，则这个反比例函数的解析式为________.y=6x反比例函数与三角形的面积变式1：点P是反比例函数图象上的一点,且PD⊥x轴于D.如果△POD面积为3，则这个反比例函数的解析式为_________________.y=6x或y=-6x反比例函数与三角形的面积分类讨论变式2：如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B,点P在x轴上，△ABP的面积为3，则这个反比例函数的解析式为.y=6xOAxyBP同底等高的两个三角形的面积相等.反比例函数与三角形的面积变式3：如图，已知点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C为y轴上的一点，若△ABC的面积是3，则反比例函数的解析式为______．OAxyBCy=6x反比例函数与三角形的面积632232AOBAOCBOCS=S-S==△△△反比例函数与三角形的面积变式4：32面积不变性注意：（1）面积与P的位置无关（2）在没图的前提下，须分类讨论QP0xyP0xyAB)(0kxky课中总结kS矩形2kS三角形即A、O、B三点在一条直线上且OA＝OB点A与点B的横、纵坐标互为相反数。探究3xyA图7CBD△BOC的面积＝△ODB的面积＝△AOC的面积＝。2k引申出：△ACB的面积＝△BDC的面积＝。|k|任意正比例函数与反比例函数图象的两个交点A、B一定关于原点（中心）对称)(0kxkyP(m,n)AoyxP/反比例函数与正比例函数围成的图形面积变式：任意正比例函数与反比例函数y＝图像相交，请分别说出以下图形的面积xkkS2S=2︱K︱kS4•5．（2010•牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（）•A．B．C．D．•考点：反比例函数系数k的几何意义。•分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式．•解答：解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，•∴A、B两点关于原点对称，•∴OA=OB，•∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，•又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，•∴△AOC的面积=|k|，•∴|k|=2，•∵k＞0，•∴k=4．•故这个反比例函数的解析式为．A.S=1B.1S2C.S2D.S=2yxOABDC∟∟D当堂检测6.如图，在反比例函数的图象上，有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4，分别过这些点作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=________.xyOP1P2P3P41234（x0)2yx当堂检测(x0)2yx1.5当堂检测7.如图，双曲线（x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点D，则矩形OABC的面积为————。xy28EF当堂检测8.如图，已知双曲线(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝_____.xky2变式一：如图，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．B．C．D．xy1xy2xy3xy6EBoyxCADB)0(kxky当堂检测变式二：如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是.)0(2xxy当堂检测DE2S=︱K︱S=2︱K︱P0xyPQ0xy）（yx,SK2KS反比例函数中的面积问题以形助数用数解形一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合