时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

第三章滑动平均模型与自回归滑动平均模型本章结构滑动平均模型ARMA模型§3.1滑动平均模型模型引入MA(q)和MA(q)序列最小序列MA(q)系数的递推计算MA(q)模型举例q步相关平稳序列的自协方差函数若满足，，则称是q步相关的。{}tX0q0,kkq{}tX滑动平均模型的例子每隔两小时记录的化学反应数据时间序列。一阶差分得的样本自相关系数列呈现截尾性。{,1,2,197}tXt1,2,,197tttyxxt{}ty可以拟合(1.1)模型特点是1步截尾^1,tttYbtZ}kMA(q)模型和MA(q)序列定义1.1设是，如果实数使得则称(1.2)是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；{}t2(0,)WN12,,(0)qqbbbb1()10,||1,qjjjBzbzz1,qttjtjjXbtZ称由(1.2)决定的平均序列是滑动平均模型，简称为MA(q)序列。如果进一步要求多项式在单位圆周上也没有零点：当，则称(1.2)是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间序列是可逆的MA(q)序列。{}tX()Bz0,zB||1zMA的特征用推移算子把模型写为(1.3)对于可逆MA，有Taylor展式所以(1.4)(),ttXBtZ1()Bz10(),||1(0)jjjBzzz10()ttjtjjBXXMA序列的自协方差函数记，则对MA(q)序列有，(1.5)01b0tEX20,0()0,qkjjkjbbkqkttkEXXkqMA序列的谱密度定理1.1MA(q)序列的自协方差函数是q步截尾的：(1.6)并且有谱密度(1.7){}tX20,0,||.qqkbkq221()|()|,[,].22qiikkkqfBeeMA(q)序列的充要条件定理1.3设零均值平稳序列有自协方差函数，则是MA(q)序列的充分必要是{}tX{}k{}tX0,0,||.qkkq引理1.2引理1.2设实常数使得和则有唯一的实系数多项式：(1.8)使得这里为某个正常数。(注：){}jc0qc1()0,[,].2qijjjqgce1()10,||1,0.qjjqjBzbzzb22()|()|.2igBe2jjcc定理1.3的证明由自协方差绝对可和时谱密度公式得由引理，单位圆内没有根1()2qikkkqfe22()|()|.2ifBe()Bz如果在单位圆上都没有根，则可定义，用线性滤波的谱密度公式可得的谱密度是白噪声谱密度。单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明。()Bz11()tBX{}tMA(q)系数的计算MA(q)序列的系数及可以被数唯一确定。可以用文献方法计算模型参数。12(,,,)qbbb201,,,q[5]MA(q)系数的计算记(1.11)01000001000000100000qqA1100qc1223111,kkkqqqk12qq则有：(1.12)其中.(1.13)2021(),,qTqbACCC1limTkkkkMA(1)序列可逆MA(1)自协方差和自相关21,(0,),||1ttttXbWNb22021(1)0,2kbbk1210,2kbbk谱密度偏相关系数不截尾：逆表示2222()|1|(12cos),[,]22ifbebb2,22()(1),1(1)kkkkbbakb0()jttjjbXMA(2)序列可逆MA(2)可逆域：1122,ttttXbbtZ12()10,||1.Bzbzbzz1212212{(,):()0,||1}{(,):1,||1}bbBzzbbbbb自协方差自相关系数谱密度222201222(1),bbb21112(),0,2kbbbk11221222221212,,0,2.11kbbbbkbbbb22212()|1|2iifbebeMA(2)序列的实际例子MA(2)的实际例子：特征根为。120.360.85ttttX1.3742971.084652ie22201221112222(1)7.4084()2.6643.40,2kbbbbbbk12(,)(0.3596,0.4589).§3.2自回归滑动平均模型ARMA(p,q)模型及其平稳解ARMA(p,q)序列的自协方差函数ARMA(p,q)模型的可识别性ARMA序列的谱密度和可逆性例子ARMA模型定义2.1设是。实系数多项式和没有公共根。满足以及：(2.1){}t2(0,)WN()Az()Bz01,0pqbab10()10,||1,()0,||1,pjjjqjjjAzazzBzbzz就称差分方程：(2.2)是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序列为平稳解或ARMA(p,q)序列。10,.pqtjtjjtjjjXaXbtZ{}tXARMA模型平稳解模型写成(2.3)在解析(为的所有根)，可以Taylor展开(2.4)易见是线性平稳列。()(),ttAXBtZ1()()AzBz||z1min{},{}jjzz()Az10()()(),||jjjzAzBzzz10(),()()()jjttjtjjoAB两边用作用即是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。()A1()()()()()tttAAAB()t惟一平稳解反之，若是(2.2)的一个平稳解，在(2.2)两边用既得即(2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。{}tY1()A11()()()()()ttttAAYYAB1()()()tttXAB称(2.6)中的为的Word系数。定理2.1由(2.6)定义的平稳序列是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。{}j{}tX{}tXARMA模型方程的通解模型(2.2)的任意解可写成(2.7)其中为平稳解(2.6).为的全体互不相同的零点。有重数随机变量由唯一决定。()1,,10cos(),rjkltttljjjljjlYXVttzZ{}tX12,,,kzzz()Azjijjze()rj,,,ljljV001111,,,ppYXYXYXARMA序列的模拟生成(2.8)可以据此模拟ARMA模型：取初值递推的当m较大时取后一段作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。当有靠近单位圆的根时m要取得较大()1,10||||,rjkltttljjjlYXVtt(1)100,pYYY10,1,2,,pqtjtjjtjjjYaYbtmn,1,2,,tYtmmmn()AzARMA序列的自协方差函数可由wold系数表示：(2.10)由于由(2.10)可得{}k20,0,1,2,kjjkjk(),,jjoj(),.jkojARMA模型Wold系数的递推公式记或由参数计算时可以递推(2.11)0,0jbj0,1;0,0.jjqbj11().()TTpppqaaabbb{}j11,0,,1,2pjjkjkjjbajWold递推公式的证明记。注意10()1ppjjjjjjAzazz0000()()()pkjkjkjpjkjkjkAzzzzzBz比较系数得即(2.11)成立。0,1pkjkjkbj1,1pjjjkjjabj可识别性我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方差函数可以决定ARMA(p,q)模型的参数{}k2211(,,)(,,,,,,)TTpqabaabb引理2.2设是(2.2)的平稳解。如果又有白噪声和实系数多项式使得成立。则的阶数的阶数。{}tX(),()CD()(),ttCXDtZ()Cz,()pDzqARMA序列的Y-W方程ARMA模型的平稳解为所以0tjtjjX()0,0tktEXk（1）两边同乘以求期望得即tkX10()()()pqtjtktjtkjtjtkjjEXXEXXbEX10010().pqkjkjjtjltkljjlpqjkjjjkjjabEabkZ当时上式为qk0,0,1,,.jkjq1,1pkjkjjakq总之(2.14)对的Y-W方程可以写成矩阵形式：(2.15)2max(0,)2,1,0,qjjkjkpkjkjqjbkqabkqkqkq1111212212qqqqpqqqqpqpqpqpqpaaa把系数矩阵记为：只要可逆则可解出。,pq,||,1,2,,111212()pqqijijpqqqpqqqpqpqpq,pq1,,paa（2）解出后令则是一个MA(q)序列。其自协方差函数为q步截尾，且1,,paa()(),tttYAXBtZ{}tY0000()()(),0yttkppjltjjlppjlkljjlkEYYEXXtlkq可以用3.1的方法唯一解出。于是，只要可逆，则ARMA(p,q)序列的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数相互惟一决定。21,,,qbb,pq2(,,)TTpqabARMA模型中AR部分的参数求解定理2.3设为ARMA(p,q)序列的自协方差函数列，则时可逆。证明：用反证法然后由引理2.2导出矛盾。{}k{}tXmp,mq设不满秩。则存在使得即(2.18),()mqmm011(,,,)0Tm,0.mq100,0,1,,1mlqkllkm注意当时，。所以这是。所以取有kmqklq1pqkljqkljjakm110011()011(0)pmmlqklljqkljlljpmjlqkjljlaakjml递推得上式当时也成立。因此km1100,0mqkllk令，则是零均值平稳列，利用可知的自协方差步截尾。是MA(q-1)序列，存在使得与引理2.2矛盾。10mtltllYX{}tY1110()0,0mttqkqklEYXk