1995线调频小波变换物理因素(译文)

线性调频小波变换：物理因素SteveMann和SimonHaykin摘要我们考虑对于任意待分析信号的可参数化的线性调频函数族内积形式的多维参数空间。采用平方调频函数（我们简称为q-调频），并引出可兼顾时间频率域和时间尺度域作为二维子空间的参数空间。其包含了一个“时间-频率-尺度体”，因而囊括了短时傅里叶变换（作为在时间频率轴上的投影）和小波变换（时间尺度轴上的投影）。另外，关于频率和尺度，变换空间内有两个额外的坐标轴：时间域切变（由和q-调频函数的卷积获得）和频率域切变（由和q-调频函数的乘积获得）。信号在该多维空间内可以通过一个被我们称为“q-调频小波变换”，或称“线性调频小波变换”的新方法捕获。这里提出的线性调频小波是小波的广义形式，两者通过时频平面上的二维仿射变换（平移、伸缩、旋转和剪切）联系起来，与之形成对照的是小波变换，通过时间域的一维仿射变换（平移、伸缩）相联系。1.引言大部分传统的信号处理理论都是基于正弦波的，借助于现代计算机和FFT算法的优势，频域信号处理大行其道。不过，近些年的研究发现了频域方法的局限性。尽管傅里叶变换可以完美重构多种信号，但还不足以对缺乏全局稳定性的信号提供有意义的解释。比如，考虑由一段音乐构成的时间序列。对其功率谱估计可以告诉我们存在哪些音符（每个频点附近能量的强弱），但不能获知这些音符在何时出现。最近的大量研究围绕信号的时频分析展开，我们可以借此观察功率谱随时间的变化。其中一类方法称作短时傅里叶变换（STFT），已经被广泛应用于语音、音乐和其他非平稳信号的分析中。假设我们要进行STFT分析，但不能确定时窗的大小。因而我们对信号s(t)做STFT时先采用相对较短的时窗，然后逐渐加宽，并计算不同时窗宽度值下相应的STFT。将这些值一层层堆叠起来形成一个对应于信号s的数据体，是一个关于时间、频率和时窗宽度的函数（图1(a)）。我们将其称为“时间-频率-尺度（TFS）变换”。另一个时频表征方法（更准确地说应该称作时间-尺度表征）是著名的小波变换。小波变换可由待分析信号和一个基函数的一族平移伸缩因子的内积获得。该基函数称作母小波。一个小波族中的某个成员通过某一特定的作用于母小波时间轴上的一维仿射坐标变换来获得；这一几何变换由两个参数来控制（平移量和伸缩量）。连续小波变换则是由信号和很多这些小波内积得到的。连续小波变换，通过适当的时窗长度/母小波的选择，其实就是前文中TFS数据体中的时间-尺度切片（图1(a)）。我们发现，即便不从计算效率和数据存储角度看，时间-频率-尺度空间在理论层面仍不失为一种有效的概念。尤其是，当我们只需要TFS数据体的绝对值的话，我们可以根据Wigner分布，利用适当的坐标变换和均匀平滑，从中提取这些信息。通过对Wigner分布适当的平滑可以实现时间-频率（TF）平面（时频谱图）到时间-尺度（TS）平面（尺度谱图）的连续变换。现在假设将信号s(t)乘上一个线性调频（FM）信号222cjte，然后计算STFT。如果连续地改变变频的速率c，并重复若干次，依次堆叠这些结果，就能得到一个不同的三维数据体（图1(b)）。此时，我们得到的是一个关于时间、频率和调频速率的函数。当然我们的选择并不限于这两类参数空间。但为引出下文，我们证明一个四维参数“时间-频率-尺度-调频速率”（TFSC）空间的有效性。图1STFT不同长度时窗构造的数据体。（a）无时窗长度连续伸缩变化的无穷多STFT构成一个“时间-频率-尺度”（TFS）变换。如果2gLIR是一个合适的母小波，那最底部的平面0cf的时间尺度面就是一个连续小波变换。这里我们仅仅给出了数据体的第一卦限。也注意到平面10s尚未定义，其对应于无穷大尺度。（b）具有变化的调频速率的切变STFT，时频面的剪切通过信号与一个调频速率为c的线性调频信号相乘实现。如果我们将这无穷多时频面堆叠起来，让c连续变化，那么就可以得到一个“时间-频率-调频速率”（TFC）变换。1.1历史记录1946年，Gabor（后因发明全息影像而荣获诺贝尔奖）在他的那篇有关信息论的原创性论文中提供了关于一维Gauss窗STFT的一种新的解释角度，并检验了二维镶嵌的时频平面。尽管Gabor的工作不是很严密（并且，实际上，他的表征方法后来被证实是不稳定的），但他所提出的时频镶嵌的概念却是贡献巨大的。Gabor将他的镶嵌元素称为logons。大约在1956年，Siebert开始用公式表达雷达监测中规律，其中就有很多有关时频的特别有用的想法。他的很多见解来自于Woodward的不确定函数，又被称为雷达模糊函数，Fourier-Wigner变换。Siebert还考虑了脉冲压缩雷达的调频函数，并对此做了详细研究，观测到时间域调频引起了时频面上的切变效应（或者换句话说，时频面上的二维Fourier变换中的切变）。1985年，Grossman和Paul用公式严格论证了从标准仿射坐标变换到相干空间表征方面的一些重要概念。他们也考虑了这些仿射坐标变换的双参数子集。Papoulis在他的著作中描述了线性调频信号作为一个普通Fourier分析算子的基的作用，同时提出其可作为时频面上的切变算子。为线性调频小波变换的提出埋下了伏笔。1987年，Jones和Parks论证了时频泄漏中时窗选择的问题。他们将Szu和Blodgett的通过乘上线性调频函数实现频域切变的工作和Janssen证明了任何面积守恒仿射变换都会给别的信号产生一个有效的时频面，尽管他们并不知道早年Siebert的未曾发表的相关成果。Jones和Parks在一个简单而深刻的例子中展示了Hamming窗和线性调频Hamming窗的时频分布，后者是前者的切变版。Berthon提出基于两类重要群的半直积的雷达模糊函数的广义形式：·特殊线性群，SL（2，IR）体现了时频面上的切变效应，以及·Heisenberg群，包含了时间和频率变换。1989年和1990年初，我们论证了线性调频小波变换，是一种坐标轴对应于时频面的二维仿射变换纯参数的多维参数空间。（该论证缘起于该资深作者和他的研究副手们的一项发现，即Doppler雷达来自海洋上小块浮冰的反射信号具有线性调频特征。）我们同样论证了一系列有效的新变换方法，即作为该多维参数空间的二维子空间。另外，我们认为借助Landan的介绍扁长椭球波函数的有关工作，我们注意到他们在时频面中的切变现象，因为它们构成了平面内理想的平行四边形镶嵌。后来，我们将线性调频小波变换和几种新的二维子空间变换方法应用于海上雷达问题的研究，发现结果要优于之前的方法，因此我们发表了我们的这些结果。独立于此，几乎是同时（其实是几天以后），Mihovilovic和Bracewell也发表了一个相关的想法（而且，还共用线性调频这个名字），但是不是一个层面的多维参数空间的广义性。后来，他们也发表了有关线性调频的应用的文章。这里需要强调的一点是，线性调频小波变换远不仅仅是可以切变效应。实际上，时域切变和频域切变是从一个时频面到另一个时频面的仿射坐标变换的实例——当线性调频小波变换是从一个一元连续函数变换到一个五元（或六元）连续函数的时候。1991年，Torresani检验了联系仿射变换群和Heisenberg群的一些关联媒介。Segman和Schempp的工作将尺度概念并入Heisenberg群，Wilson则检验了TFS表征方法的效果，他们称之为多重分辨率Fourier变换。Baraniuk和Jones研究了若干“子空间的线性调频小波变换”。并对二维子空间线性调频小波变换中的一些数学方面的细节做了推敲。他们同时提供了线性调频小波变换的另一种基于Wigner分布的推导方法。该方法和我们的分析没有任何关联，它将线性调频小波变换的解析空间中的每一点对应于时间域的一个特定算子。该时间域算子作用于解析基函数（“调频母函数”）并与一个时频面上的二维面积守恒仿射坐标变换有关。Baraniuk和Jones还做了离散化的工作。最近，研究人员还考虑了分数阶Fourier域及其与线性调频小波和小波变换之间的关系。1.2相关工作早前，我们的对于线性调频解析函数的兴趣源自于一种不同的调频现象：因视角不同引起的调频。我们的城区或室内空间包含了过剩的周期信号，周而复始的建筑砖瓦声，窗户开合声，诸如此类。然而对这些建筑的拍照无法捕捉这些周期信号的本质。若拍照时采用一个倾斜的角度（胶片平面和平面区域不平行），当我们经过图像平面时，这些平面会引起图像空间频率的改变。远处的砖块会随着我们向消失点的移动而越来越小，这里的消失点可定义为空间频率无穷大的点。我们对小波变换的第一个推广是将小波的“放大”效应扩展为平移和倾斜，用以模拟摄像机的运动。对于雷达的兴趣使我们转向于借助线性调频小波的精确分析。我们发现海上雷达信号、汽车交通雷达信号等都存在一个较强的“线性调频”现象，因此，常规的FourierDoppler方法不能适用。尤其是，小型冰山碎块反射的声音信号产生的颤频效应说明需要考虑替代诸如加窗谐波振荡等的方法（即，替代波和小波的方法）。在所有可能的线性调频分析基函数中，我们将之分为具有实用意义的两族：“投影线性调频小波”（p-chirplet）和“平方线性调频小波”（q-chirplet）。后者是本文要讨论的。这两种形式的线性调频小波已被联立成“时频角度”的一种流行形式，具有更为广义的8参数信号表征方法，包括：5参数子空间的“投影线性调频小波”和另一个5参数子空间的“平方线性调频小波”，两子空间共用时频和伸缩轴。尽管重点基于FFT硬件并致力于解决特定目的的硬件已经存在，但计算实例还未给出。我们还构造了其他类型的线性调频小波变换，例如三参数Doppler线性调频小波当沿着直线（比如火车汽笛）运动时，可以模拟正弦波震源。三个参数分别为中心频率、最大调频速率和频率荡限。同样，给出了对数频率的线性调频小波的表达式，其中调频函数在时间尺度剖面上变为直线。基于调频解析函数的STFT和小波变换的广义形式，已有很多相关的研究。传统的时频方法和线性调频小波的对比也有文章发表，在雷达信号处理和地球物理学领域都有应用实例。1.3概述本文致力于研究线性调频小波变换的物理（直觉）因素，全文组织如下：·首先介绍线性调频解析函数，或可称为广义的小波（“线性调频小波”）；·接着对Gabor关于Gauss窗时频镶嵌的工作进行推广。引出了四维的时间-频率-尺度-调频速率（TFSC）参数；·然后考虑非Gauss解析函数，引出五维参数空间；·再然后考虑了多元解析小波/时窗，先将Thomson谱估计方法推广到时频面，再将该结果进一步推广到线性调频小波变换。这些多元解析小波/时窗（在随后的章节中，我们称之为“多元线性调频母小波”）共同作用定义了时频面上一个简单的“覆盖”，对应于线性调频小波变换参数空间每一个点。这样的一个覆盖具有平行四边形的时频分布，其形状由那6个二维仿射坐标参数决定。·接下来利用信号本身和别的信号作为“线性调频母小波”推广了自相关和互相关。换句话说，我们分析了原始信号及其线性调频状态下的信号和别的信号；·最后，我们考虑了线性调频小波变换的子空间，引出了一系列新的变换。2.线性调频小波STFT包含了具有波的相同部分的信号间的相互关系，而小波变换则包含了Q值恒定函数族之间的联系。但这两种变换都有一些共性，尽管前者通常被认为是时频方法，后者是时间-尺度方法，两者都试图在时频面对信号进行定位。从非严格意义上来讲，STFT的时窗调制还有小波变换的小波函数可能会被认作“波动的一部分”。线性调频小波，类似的，可以看做是“线性调频信号的一部分”。我们一般采用复线性调频小波，以避免f=0轴上因为只保留实值线性调频小波而产生的镜像问题。图2给出了波动、小波、线性调频信号和线性调频小波的时频分布的实部虚部对比。图3中，我们给出了3D形态下的对比，其中三个坐标轴分别对应函数的实部、虚部和时间。四类线性调频小波的离散采样如图：上面两个线性调频速率为0，左侧两个采用了任意大时窗。2.1Gauss线性调频小波图2和图3