04第四节事件的独立性

第四节事件的独立性分布图示★引例★两个事件的独立性★例1★例2★关于事件独立性的判断★有限个事件的独立性★相互独立性的性质★例3★例4★例5★伯努利概型★例6★例7★例8★例9★内容小结★课堂练习★习题10-4内容要点一、两个事件的独立性定义1若两事件A,B满足)()()(BPAPABP(1)则称A,B独立,或称A,B相互独立.定理1设A,B是两事件,且0)(AP,若A,B相互独立,则)()|(APBAP.反之亦然.定理2设事件A,B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与B,A与B,A与B.二、有限个事件的独立性定义2设CBA,,为三个事件,若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP则称事件CBA,,相互独立.对n个事件的独立性,可类似写出其定义:定义3设nAAA,,,21是n个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立,则称nAAA,,,21两两独立.多个相互独立性的性质性质1若事件nAAA,,,21)2(n相互独立,则其中任意)1(nkk个事件也相互独立.性质2若n个事件nAAA,,,21)2(n相互独立,则将nAAA,,,21中任意)1(nmm个事件换成它们的对立事件,所得的n个事件仍相互独立.三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果:事件A发生(记为A)或事件A不发生(记为A),则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验.设),10(,1)(,)(ppAPpAP将伯努利试验独立地重复进行n次,称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验,或简称为伯努利概型.注:n重伯努利试验是一种很重要的数学模型,在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他各次试验中A是否发生的影响.定理3（伯努利定理）设在一次试验中,事件A发生的概率为),10(pp则在n重贝努里试验中,事件A恰好发生k次的概率为).,,1,0(,)1(}{nkppCkXPknkkn推论设在一次试验中,事件A发生的概率为),10(pp则在n重贝努里试验中,事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1nkppk注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事件A在前1k次试验中均不发生而第k次试验中事件A发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲两个事件的独立性例1(E01)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A{抽到K},B{抽到的牌是黑色的},问事件A、B是否独立?解一利用定义判断.由,131524)(AP,215226)(BP,261522)(ABP),()()(BPAPABP故事件、AB独立.解二利用条件概率判断.由,131)(AP,131262)|(BAP),|()(BAPAP故事件、AB独立.相互独立性的性质例2（E02）甲、乙两粒种子作发芽试验,若甲种子发芽的概率为0.7,乙种子发芽的概率为0.8,试计算两粒种子中至少有一粒发芽的概率.解:设A:甲种子发芽;B:乙种子发芽则P(A)0.7,P(B)0.8,又由于甲、乙两种子是独立的,所以P(BA)P(A)P(B)0.56故P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.80.560.94例3（E03）已知甲、乙射手的命中率分别为0.77，0.84，他们各自独立地项同一目标射击一次.试求目标被击中的概率.解设A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”.于是.84.0)(,77.0)(BPAP题中的“目标被击中”即为“甲、乙射手至少有一人击中目标”，故本题实际上求的是事件BA的概率.根据事件BA,具有独立性和相容性的特点，可采用下列两种方法求解.方法一从任意事件概率的加法公式出发。有.9632.084.077.084.077.0)()()()()(BPAPBPAPBAP方法二从事件BA的对立事件出发，有)()(1)(1)(1)(BPAPBAPBAPBAP.9632.0)84.01)(77.01(1)](1)][(1[1APAP注:就本例而言，两种解法的繁难程度无多大差别，但当构成和(并)事件的独立事件的个数较多时，方法2更能显示其优越性.例4加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.设4321,,,AAAA为四道工序发生次品事件,D为加工出来的零件为次品的事件,则D为产品合格的事件,故有,4321AAAAD)()()()()(4321APAPAPAPDP%)31%)(51%)(31%)(21(%;60.87%59779.87)(1)(DPDP%.40.12%60.871例5(E03)如图（见教学系统）是一个串并联电路系统.HGFEDCBA,,,,,,,都是电路中的元件.它们下方的数字是它们各自正常工作的概率.求电路系统的可靠性.解以W表示电路系统正常工作,因各元件独立工作,故有),()()()()()(HPGFPEDCPBPAPWP其中,973.0)()()(1)(EPDPCPEDCP.9375.0)()(1)(GPFPGFP代入得.782.0)(WP伯努利概型例6某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.解观察一棵小树是否成活是随机试验,E每棵小树只有“成活”)(A或“没成活”)(A两种可能结果,且.9.0)(AP可以认为,小树成活与否是彼此独立的,因此观察20棵小树是否成活可以看成是9.0P的20重伯努利试验.设所求概率为),(BP则由伯努利公式可得.285.01.09.0)(2181820CBP例7一条自动生产线上的产品,次品率为4%,求至少有两件次品的概率;解由于一条自动生产线上的产品很多,当抽取的件数相对较少时,可将无放回抽取近似看成是有放回抽取,每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验,且每次试验只有“次品”或“正品”两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.设A表示“任取1件是次品”,则,04.0)(APp.96.0)(APq设B表示“10件中至少有两件次品”,由伯努利公式有)1()0(1)()(101010210PPkPBPk91101096.004.096.01C.0582.0例8(E04)某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发,问:欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?解设需配置n门炮.因为n门炮是各自独立发射的,因此该问题可以看作n重伯努利试验.设A表示“高炮击中飞机”,,6.0)(APB表示“敌机被击落”,问题归结为求满足下面不等式的.n99.04.06.0)(1knknkknCBP由,99.04.01)(1)(nBPBP或,01.04.0n解得,03.54.0lg01.0lgn故至少应配置6门炮才能达到要求.例9一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率.解记iA为事件“第i次取到的是黑球”,则,2,1,10/3)(iAPi(1)记B为事件“10次中能取到黑球”,kB为事件“10次中恰好取到k次黑球”),10,1,0(K则有,)10/7(1)(1)(1)(100BPBPBP(2)记C为“恰好要取3次”,D为“至少要取3次”,则),10/3()10/7()(2CP.)10/7()()()()(22121APAPAAPDP课堂练习某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:(1)都不出废品的概率;(2)至少有一天出废品的概率;(3)仅有一天出废品的概率;(4)最多有一天出废品的概率;(5)第一天出废品,其余各天不出废品的概率.