10讲不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA，()fx的下界大于A（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB,()fx的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+]时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。例2、已知,22xaxxxf对任意0,,1xfx恒成立,试求实数a的取值范围;例3、R上的函数xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有022sin2cos2mfmf恒成立，求实数m的取值范围.２例4、已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值3c，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。2、主参换位法例5、若不等式a10x对1,2x恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意1a，不等式2(4)420xaxa恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数323()(1)132afxxxax，其中a为实数．若不等式2()1fxxxa＞对任意(0)a，都成立，求实数x的取值范围．３3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式max()gfx(或mingfx)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8、当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.例9、已知函数321()33fxaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.4、数形结合例10、若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________４例11、当x(1,2)时，不等式2(1)xlogax恒成立，求a的取值范围。二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.例12、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围______例13、若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是．例14、已知函数21ln22fxxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围５三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式2axbx10的解集为1|13xx则ab___________例16、已知,22xaxxxf当xfx,,1的值域是,0,试求实数a的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。６不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式2(1)(1)3(1)0mxmxm对任意实数x恒成立，求实数m取值范围2、已知不等式22622kxkxxx对任意的xR恒成立，求实数k的取值范围3、设函数329()62fxxxxa．对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值。4、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式212xpxpx恒成立的x的取值范围。5、已知不等式22023xxax对任意实数，恒成立。求实数a的取值范围。6、对任意的2,2a，函数2()(4)42fxxaxa的值总是正数，求x的取值范围7、若不等式2log0mxx在10,2内恒成立，则实数m的取值范围。７8、不等式)4(xxax在]3,0[x内恒成立，求实数a的取值范围。9、不等式220kxk有解，求k的取值范围。10、对于不等式21xxa，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意[05]x，，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合MN，．11、①对一切实数x,不等式32xxa恒成立，求实数a的范围。②若不等式32xxa有解，求实数a的范围。③若方程32xxa有解，求实数a的范围。12、①若x,y满足方程22(1)1xy，不等式0xyc恒成立，求实数c的范围。②若x,y满足方程22(1)1xy，0xyc，求实数c的范围。８13、设函数432()2()fxxaxxbxR，其中,abR．若对于任意的22a，，不等式()1fx在11，上恒成立，求b的取值范围．14、设函数321()(1)4243fxxaxaxa，其中常数1a，若当0x时，()0fx恒成立，求a的取值范围。15、已知向量a=(2x，x+1)，b=(1-x，t)。若函数baxf)(在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。９不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例1、解：a的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于022axxx对任意,1x恒成立,又等价于1x时,x的最小值0成立.由于112axx在,1上为增函数,则31minax,所以3,03aa例3、解：由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf因为xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为xf为R减函数，从而有22sin2cos2mm对2,0恒成立设tsin，则01222mmtt对于1,0t恒成立，在设函数1222mmtttg,对称轴为mt.①当0mt时，0120mg，即21m，又0m∴021m(如图1)②当1,0mt，即10m时,012442mmm,即0122mm,∴2121m,又1,0m,∴10m(如图2)③当1mt时，0212211mmg恒成立.∴1m(如图3)故由①②③可知：21m.例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(xf在1x处取得极小值cf3)1(，此极小tg(t)o·1图1t=mtg(t)o·1图2t=mtg(t)o·1图3t=m１０值也是最小值.要使)0(2)(2xcxf恒成立，只需223cc.即0322cc，从而0)1)(32(cc.解得23c或1c.c的取值范围为),23[]1,(.例5、解：12a例6、解：(,1)(3,)x例7、解析：由题设知“223(1)1axxaxxa对(0)a，都成立，即22(2)20axxx对(0)a，都成立。设22()(2)2gaxaxx（aR），则()ga是一个以a为自变量的一次函数。220x恒成立，则对xR，()ga为R上的单调递增函数。所以对(0)a，，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g，220xx，20x，于是x的取值范围是{|20}xx。例8、解析:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.令244()xfxxxx，则易知()fx在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x时()(1)5maxfxf，则2min4()5xx∴5m.例9、解析：（1）2ab（2）)(xf在区间(0,1]上单调递增2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立1,(0,1]22axbxx恒成立max1()22axbx，(0,1]x。设1()22axgxx，2221()1'()222axaagxxx，令'()0gx得1xa或1xa(舍去)，当1a时,101a，当1(0,)xa时'()0gx，1()22axgxx单调增函数；当1(,1]xa时'()0gx，1()22axgxx单调减函数,１１max()gx1()gaa。ba。当01a时，11a，此时'()0gx在区间(0,1]恒成立，所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增，max()gx1(1)2ag，12ab。综上，当1a时,ba；当01a时，12ab。例10、解析：对xR,不等式||xax恒成立则由一次函数性质及图像知11a，即11a。例11、解：1a2.例12、解：1a例13、第二个填空是不等式能成立的问题.设aaxxxf2.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf,即,3442minaaxf解得6a或2a例14、解：xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数hx存在单调递减区间，所以()0hx有解.由题设可知,xh的定义域是,0,而0xh在,0上有解,就等价于0xh在区间,0能成立,即xxa212,,0x成立,进而等价于xuamin成立,其中xxxu212.由xxxu2121112x得,1minxu.于是,1a,由题设0a,所以a的取值范围是,00,1例15、解：6||yx||yxyaxyaxxyO１２例16、解：是一个恰成立问题,这相当于022xaxxxf的解集是,1x.当0a时,由于1x时,3222xaxxaxxxf,与其值域是,0矛盾,当0a时,222xaxxaxxxf是,1上的增函数,所以,xf的最小值为1f,令01f,即.3,021aa例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故hmin(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故hmin(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故hmax(x)≥0，由（1）知hmax（x）=k+7，于是得k≥-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(minmaxxxgxf，由g′(x)=6x2+10x+4=