高中物理解题中数学方法的应用

高中物理解题中数学方法的应用高一物理赫喜山.中学物理考试大纲明确要求考生必须具备：“应用数学处理物理问题的能力能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”一、高考命题特点高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.二、数学知识与方法物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、图象法、函数法、方程(组)法、递推法、微元法等.比例法等课时1.几何的知识应用(一)1．相似三角形法：相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。【例1】如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO＞90º。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和大球支持力FN的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN相似，根据相似三角形对应边成比例得F/L=G/(d+R)=FN/R解得F=G•L/(d+R)FN=G•R/(d+R)[讨论]由此可见，当绳长L减小时F变小，FN不变。2．正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右图2所示，表达式为：F1/Sinα=F2/Sinβ=F3/Sinθ此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。【例2】如图，船A从港口P出发支拦截正以速度0v沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P的距离为b，ab，如果略去A船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：（1）A船能拦到B船的最小速率v；（2）A船拦到B船时两船的位移BOGFNFAC图1AGFNF图1BαβθF3F1F2图2解析：（1）设两船在C相遇在△PBC中，RtvRvt00vRRv，式中baR当=900时，即v跟PB垂直时，v最小，最小速率为0vbav（2）拦到船时，A船位移为22ababsAB船位移为222abbsB答案：（1）0vbav（2）22ababsA222abbsB【练习】如图所示，临界角C为450的液面上有一点光源S发出一束光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上．当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过．则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少?解析：当平面镜M以角速度逆时针转动时，反射光线将以角速度2同向转动．反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由S向左沿水面移动．将其移动速度v分解如图．由图可知．越大，OP越大，v越大．但当450时，反射光线OP将在水面上发生全反射．观察者将看不到光斑，因此，当角非常接近450时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为dddOPvvm4)22(2cos2cos2cos222答案：d4【练习】如图3所示，小球质量为m，置于倾角为θ的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力FN和悬线对小球的拉力F。【解析】选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用而处于平衡状态。根据正弦定理得：F/sin(180º－θ)=FN/sin(180º－α)=mg/sin(α+θ)即F/sinθ=FN/sinα=mg/sin(α+θ)所以F=mg•sinθ/sin(α+θ)FN=mg•sinα/sin(α+θ)θαmgFNF图3课时2．几何的知识应用(二)课时3．图象法物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此,图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一.高考考纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图（即直接根据题目要求作图）、用图（包括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题）两个方面。对作图题，在描绘图像时，要注意物理量的单位、坐标轴标度的适当选择及函数图像的特征等,特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚.对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等.对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.方法综述1．“图”在物理学中有着十分重要的地位，它是将抽象的物理问题直观化、形象化的最佳工具。作为一种解决问题的方法，图解法具有简易、方便的特点，学习中应通过针对性训练、强化对图像的物理意义的理解，以达到熟练应用图像处理物理问题，熟能生巧的目的。2.中学物理常用的“图”有示意图、过程图、函数图、矢量图、电路图和光路图等。若题干和选项中已给出函数图，需从图像横、纵坐标所代表的物理意义，图线中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”等诸多方面寻找解题的突破口。即使题干和选项中没有出现函数图，有时用图象法解题不但快速、准确，而且还可以避免繁杂的中间运算过程，甚至可以解决用计算分析无法解决的问题。【例4】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度．第14题图解：．由图象可知，运动员的重力为mg＝500N①弹簧床对运动员的最大弹力为Fm＝2500N②由牛顿第二定律得Fm－mg＝mam③则运动员的最大加速度为am＝40m/s2④（本题也可以求上升的最大高度）【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动v—t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线，假如返回舱总质量为M=400kg，g=10m/s2，求（1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？（2）在初始时刻v=160m/s，此时它的加速度是多大？（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。课时4．图象法（二）课时5．函数法（极值问题）数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式“和积不等式”的性质求极值。【例5】物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有µ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，即0cosfF……①GFNsin……②Nf…………③由联立①②③解得：)sincoscos(sin1cossin2GGF)sin(12G,其中1tan,∴GF2min1NFfmgθ【例6】：一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后θvmgABCOLTθα无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgυcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：221cosmvmgL……………②解①②可得：2sincos2gLmgP令y=cosθsinθ)sinsincos2(21)sincos2(21sincos222422y2)cos(sin2sinsincos222222又根据基本不等式abccba3，定和求积知：当且仅当22sincos2，y有最大值33coscos1cos222：得由结论：当33cos时，y及功率P有最大值。课时6函数法课堂训练【练习】（作图法）从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm：画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：mVtS21即：sm：VVmm/5202150解得t020V/m.s-1【练习】如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为mE，试求mE可能值的范围．解：．（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒，有vmmmv)2(0①由机械能守恒Evmmmv220)2(2121②联立两式得2031mvE③（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA系统动量守恒BAmvmvmv20④B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，有共mvmvmvBA32⑤mEmvmv22032121共⑥由④⑤两式得340Bvvv共⑦联立④⑤⑥式，得]163)4([382020vvvmEBm⑧当弹簧恢复原长时与小球B挡板相碰，vB有最大值vBm，有''02ABmmvmvmv⑨2'220111222ABmmvmvmv⑩第18题图m2mABv0联立以上两式得vBm＝032v即vB的取值范围为0320vvB⑾结合⑦式知，当vB＝40v时Em有最大值为Em1＝2021mv⑿当vB＝320v时，Em有最小值为Em2＝20271mv