高一数学课件-三角函数

BS·数学必修4BS·数学必修4BS·数学必修4任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．BS·数学必修4(2013·珠海高一检测)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．【思路点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图像求解．BS·数学必修4【规范解答】要使函数有意义，必须有2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.解得π6＋2kπx56π＋2kπ，π3＋2kπ≤x≤53π＋2kπ，(k∈Z)BS·数学必修4∴π3＋2kπ≤x5π6＋2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k∈Z)．【答案】[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k∈Z)BS·数学必修4求函数f(x)＝－sinx＋tanx－1的定义域．BS·数学必修4【解】函数f(x)有意义，则－sinx≥0，tanx－1≥0，即sinx≤0，tanx≥1.如图所示，结合三角函数线知2kπ＋π≤x≤2kπ＋2πk∈Z，kπ＋π4≤xkπ＋π2k∈Z.∴2kπ＋5π4≤x2kπ＋3π2(k∈Z)．故f(x)的定义域为[2kπ＋5π4，2kπ＋3π2)(k∈Z).BS·数学必修4诱导公式正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．BS·数学必修4已知sin(α－π5)＝a，cos(α－π5)＝1－a2(a≠±1，a≠0)，求cos(α＋14π5)tan(α－11π5)＋tanα＋9π5cos26π5－α的值．【思路点拨】借助“奇变偶不变，符号看象限”的口诀化简，整理即可．BS·数学必修4【规范解答】原式＝cos(α＋4π5＋2π)tan(α－π5－2π)＋tanα＋2π－π5cos4π＋6π5－α＝cos(α＋4π5)tan(α－π5)＋tanα－π5cos6π5－α＝cos[π＋(α－π5)]tan(α－π5)＋tanα－π5cos[π－α－π5]BS·数学必修4＝－cos(α－π5)tan(α－π5)＋tanα－π5－cosα－π5＝－sin(α－π5)－sinα－π5cos2α－π5＝－a－a1－a2＝a3－2a1－a2.BS·数学必修4若sin(3π2＋θ)＝14，求cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ.【解】因为sin(3π2＋θ)＝14，所以cosθ＝－14.BS·数学必修4所以cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθcosθ－cosθ＋cosθ＝cosθcosθcosθ＋1－cosθcosθcosθ－1＝1cosθ＋1－1cosθ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.BS·数学必修4三角函数的图像及变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．BS·数学必修4如图1－1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π2)的一段图像．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？图1－1BS·数学必修4【思路点拨】(1)先确定A、k，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．BS·数学必修4【规范解答】(1)由图像知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y＝12sin(2x＋π6)－1.BS·数学必修4(2)把y＝sinx向左平移π6个单位得到y＝sin(x＋π6)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin(2x＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin(2x＋π6)，最后把函数y＝12sin(2x＋π6)的图像向下平移1个单位，得到y＝12sin(2x＋π6)－1的图像．BS·数学必修4函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图1－2所示．图1－2(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？BS·数学必修4【解】(1)A＝3，2πω＝43×(4π－π4)＝5π，故ω＝25.由f(x)＝3sin(25x＋φ)过点(π4，0)，得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f(x)＝3sin(25x－π10)．BS·数学必修4(2)由f(x＋m)＝3sin[25(x＋m)－π10]＝3sin(25x＋2m5－π10)为偶函数(m＞0)，知2m5－π10＝kπ＋π2(k∈Z)，即m＝52kπ＋3π2(k∈Z)．∵m＞0，∴mmin＝3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.BS·数学必修4三角函数的性质高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视．BS·数学必修4已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值．(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．BS·数学必修4【思路点拨】(1)将2x＋π6看成一个整体，利用y＝sinx的单调区间求解．(2)先求x∈[0，π2]时2x＋π6的范围，再根据最值求a的值．(3)先求f(x)取最大值时2x＋π6的值，再求x的值．BS·数学必修4【规范解答】(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z)．BS·数学必修4(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}．BS·数学必修4设函数f(x)＝－sin(2ωx－π3)(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．BS·数学必修4【解】(1)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.BS·数学必修4(2)由f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin2x－π3≤1.因此－1≤f(x)≤32.故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.BS·数学必修4数形结合的思想所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．BS·数学必修4(1)求满足不等式cosx－12的角x的集合；(2)求y＝2sinx(－π3≤x≤2π3)的值域．【思路点拨】可借助于单位圆的三角函数线求解，也可利用函数图像求解．BS·数学必修4【规范解答】(1)作出函数y＝cosx在[0,2π]上的图像，如图所示．由于cos2π3＝cos4π3＝－12，故当2π3x4π3时，cosx－12.由于y＝cosx的周期为2π，∴适合cosx－12的角x的集合为{x|2π3＋2kπx4π3＋2kπ，k∈Z}．BS·数学必修4(2)作出y＝sinx的简图，如图所示，由图像可知，当－π3≤x≤2π3时，－32≤sinx≤1.∴－3≤2sinx≤2，因此函数y＝2sinx(－π3≤x≤2π3)的值域为[－3，2]．BS·数学必修4函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．【解析】f(x)＝sinx＋2|sinx|＝3sinx，x∈[0，π]，－sinx，x∈[π，2π].作出f(x)的图像如图所示，则k的取值范围为1＜k＜3.【答案】(1,3)