2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第四篇第3讲三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()．A.23B.32C．2D．3解析由题意知f(x)的一条对称轴为x＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝4π3，从而ω＝32.答案B2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为()．A．0B.π6C.π4D.π3解析据已知可得f(x)＝2sinx＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，又由于θ∈－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案B3．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()．A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴－32≤sinπ6x－π3≤1，∴－3≤2sinπ6x－π3≤2.∴函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－3.答案A4．(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()．A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)解析由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6＝±1，即sin2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．∴φ＝kπ＋π6(k∈Z)．又fπ2f(π)，即sin(π＋φ)sin(2π＋φ)，∴－sinφsinφ.∴sinφ0.∴对于φ＝kπ＋π6(k∈Z)，k为奇数．∴f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin2x＋kπ＋π6＝－sin2x＋π6.∴由2mπ＋π2≤2x＋π6≤2mπ＋3π2(m∈Z)，得mπ＋π6≤x≤mπ＋2π3(m∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是mπ＋π6，mπ＋2π3(m∈Z)．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为________．解析f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.答案326．若f(x)＝2sinωx(0ω1)在区间0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3π3，则f(x)在0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sinωπ3＝2，且0ωπ3π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.答案34三、解答题(共25分)7．(12分)设f(x)＝1－2sinx.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x|2kπ＋56π≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z}．(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，∴f(x)的值域为[0，3]，当x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，f(x)取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间－π12，π2上的值域．解(1)f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.∴最小正周期T＝2π2＝π，由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π3(k∈Z)．∴函数图象的对称轴为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．(2)∵x∈－π12，π2，∴2x－π6∈－π3，5π6，∴－32≤sin2x－π6≤1.即函数f(x)在区间－π12，π2上的值域为－32，1.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π单调递减，则ω的取值范围是()．A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2]解析取ω＝54，f(x)＝sin54x＋π4，其减区间为85kπ＋π5，85kπ＋π，k∈Z，显然π2，π⊆85kπ＋π5，85kπ＋π，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin2x＋π4，其减区间为kπ＋π8，kπ＋58π，k∈Z，显然π2，π⃘kπ＋π8，kπ＋58π，k∈Z，排除D.答案A2．已知ω0,0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝()．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析由题意可知函数f(x)的周期T＝2×5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，将x＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，∵0φπ，∴φ＝π4.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|＝cosxsinx≥cosx，sinxsinxcosx.画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为－1，22.答案－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2kπ＋π3(k∈Z)是tanα＝3的充分不必要条件；②函数f(x)＝|2cosx－1|的最小正周期是π；③在△ABC中，若cosAcosBsinAsinB，则△ABC为钝角三角形；④若a＋b＝0，则函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝π4.其中是真命题的序号为________．解析①∵α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒tanα＝3，而tanα＝3⇒/α＝2kπ＋π3(k∈Z)，∴①正确．②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|＝|－2cosx－1|＝|2cosx＋1|≠f(x)，∴②错误．③∵cosAcosBsinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB0，即cos(A＋B)0，∵0A＋Bπ，∴0A＋Bπ2，∴C为钝角，∴③正确．④∵a＋b＝0，∴b＝－a，y＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝2asinx＋π4，∴x＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案①③④三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．解(1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x＝12cosx－32sinx·12cosx＋32sinx＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－3－3cos2x8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)知h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos2x＋π4，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－π8(k∈Z)时，h(x)取得最大值22.故h(x)取得最大值时，对应的x的集合为xx＝kπ－π8，k∈Z.6．(13分)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解(1)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6.∴sin2x＋π6∈－12，1，又∵a0，∴－2asin2x＋π6∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin2x＋π6－1，g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋7π6－1＝4sin2x＋π6－1，又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sin2x＋π6－1＞1，∴sin2x＋π6＞12，∴2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z.又∵当2kπ＋π2＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.综上，g(x)的递增区间为kπ，kπ＋π6(k∈Z)；递减区间为kπ＋π6，kπ＋π3(k∈Z)．特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.