数学试题扬州中学2019-2020学年高三年级第一学期十二月检测-数学试题含答案

12020届扬州中学月考试卷必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A={1，3，5}，B={2，3}，则集合A∪B中的元素个数为______．2.已知复数z满足32,zii其中i是虚数单位，则z的共轭复数是________.3.函数()fx是定义在R上的奇函数，且0x时，()1fxx，则当0x时，()fx________.4.“”是“直线，垂直”的条件．5.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为.6.已知，，则______7.已知实数，满足则的取值范围是．8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则．9.已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，将()yfx的图象向右平移(0)个单位长度，所得函数()ygx为偶函数时，则的最小值是．10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P为正三角形ABC△的边BC上一动点，当PAPC取最小值时，sinPAC的值为12．在平面直角坐标系xOy中，已知(6,0),(6,6),(0,6)ABC，若在正方形OABC的边上存在一点P，圆222:(2)(0)GxyRR上存在一点Q，满足4OPOQ，则实数R的取值范围为．13．已知0x，0y，则2222282xyxyxyxy的最大值是．14.已知函数()cos2fxx的图象与直线440(0)kxykk恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,xxx，则2113tan()xxxx________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）215.（1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围．（2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)fxAxBA，部分自变量、函数值如下表．x3712x02322()fx24求：（1）函数()fx的单调增区间．（2）函数()fx在(0,]内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上规划在小路MN与AP的交点与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；设，求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．318.已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点13,2P．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．19．已知函数21(),()1xxfxgxaxe（aR）．（1）求函数()fx的极值；（2）当102a时，判断方程()()fxgx的实根个数，并加以证明；（3）求证：当1a时，对于任意实数[1,)x，不等式()()fxgx恒成立．20.已知函数f(x)＝31,()ln4xaxgxx(1)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；(2)用min,mn表示m，n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h(x)零点的个数4理科附加题（满分40分时间30分钟）21.B选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M221a，其中Ra，若点(1,2)P在矩阵M的变换下得到点(4,0)P．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21.C选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2sin306，曲线C的参数方程是2cos2sinxy（为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求PAPB．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．23.现有n(n＋1)2（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：*…………………第1行5**…………………第2行***…………………第3行………………………………**…………**…………………第n行设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．（1）求p2的值；（2）证明：pn＞C2n＋1(n＋1)!．6答案1.4；2.2+3i；3.1x；4.充分不必要；5.；6.210；7.；8.8；9.8；10.；11.3926；12.15,22；可得点P的轨迹方程为圆:H222(8)(4)xyR，则圆H与正方形的四边有公共点．13.23；332222224224224()23(4)38210161610xyxyxyxyxyyxxyxyxyxxyyyx2434()2xyyxxyyx令4(0)xyxtyxy，则4t，原式23323222344tttt．也可直接换元后求导．14.1215.（1）若是真命题，则．因为，所以．若为真命题，则方程有实根，所以，即或．当且为真命题时，或．故当“且”为假命题时，的取值范围为．（2）由，得，所以．由于，得，所以．由是的充分不必要条件，知，则解得．故的取值范围为．16．解：（1）由题意得：3327212，解得：256又sin02sin42ABAB，解得：22AB∴5()2sin(2)26fxx由5222,262kxkkZ，解得：2,36kxkkZ∴函数()fx单调增区间为2[,]()36kkkZ；（2）∵5()2sin(2)206fxx∴5sin(2)16x∵(0,]x∴55522666x∴53262x，解得：3x∴函数()fx在(0,]内的零点为3．17.解：在中化简得：则，，答：小路ON段的建造费用为3万元．由正弦定理得：则，设小路AO段与ON段的建造总费用为，7则，，，若满足，且，列表如下：0则当时，有极小值，此时也是的最小值，，答：当，小路AO段与ON段的建造总费用最小．18.解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点13,2P，所以，所以a=2，从而，故椭圆的方程为．（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，同理得，因此，=，因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．19.解：（1）∵1()xxfxe∴'()xxfxe当(,0)x时，'()0fx，()fx单调递增；当(0,)x时，'()0fx，()fx单调递减所以当0x时，函数()fx存在极大值(0)1f，无极小值；（2）令21()()()1xxhxfxgxaxe，12'()22xxxexahxaxaxee∵102a，∴112a，即1ln02a，令'()0hx，解得0x或1ln2xa当(,0)x时，'()0hx，()hx单调递增；当1(0,ln)2xa时，'()0hx，()hx单调递减；当时1(ln,)2xa，'()0hx，()hx单调递增8又(0)0h，1(ln)(0)02hha，211111111()()10aaaahaaaee（11ln2aa），函数()hx在R上连续，所以()hx有一个零点0，且在11(ln,)2aa上有一个零点，即函数()hx有两个零点∴当102a时，方程()()fxgx的实根个数为2个；（3）方法（一）由（2）知，即证：当1a时，对于任意实数[1,)x，不等式()0hx恒成立．∵1a∴1lnln22a①当1ln12a，即2ea时，则(1,0)x时，'()0hx，()hx单调递减；(0,,)x时，'()0hx，()hx单调递增∴min()(0)0hxh∴当1x时，()0hx恒成立；②当11ln02a，即12ea时，则1(1,ln)2xa时，'()0hx，()hx单调递增；1(ln,0)2xa'()0hx，()hx单调递减；(0,)x时，'()0hx，()hx单调递增∴min()min{(0),(1)}hxhh∵(0)0,(1)10hha∴当1x时，()0hx恒成立；综上：当1a时，对于任意实数[1,)x，()0hx恒成立，即不等式()()fxgx恒成立．方法（二）由（2）知，即证：当1a时，对于任意实数[1,)x，不等式()0hx恒成立．①在0x时，∵1a∴11022a又0x，1xe得：'()0hx，∴()hx为在[0,)上是增函数，故()(0)0hxh；②在10x时，由于1a，所以2211axx要证明()0hx成立，即证2110xxxe，也即证1(1)[1]0xxxe由于10x，只需证110xxe不妨令1()1xmxxe，11'()1xxxemxee由10x，得'()0mx且不恒为0，所以()mx在区间[1,0]上单调递减，()(0)0mxm，从而110xxe得证．综上，当1a时，对于任意实数[1,)x，()0hx恒成立，即不等式()()fxgx恒成立．20.解：（I）设曲线()yfx与x轴相切于点0(,0)x，则0()0fx且'0()0fx即3002010430xaxxa解得013,24xa9因此，当3xy()4afx时，轴为曲线的切线（II）当x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)gxnxfxgxgxx时，从而h(x)=min故在无零点55x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x44afahfgg当时，若则故是5()a,(1),(1)(1)0,1(4hxfgfxhx的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是的零点x(0,1)g()10.fxnx当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数2iaaf（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f(0),(1),faf44fa所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点aa()30,f()0),133iiax若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中321()f()3334aaaaxfx当时，取得最小值，最小值为3()0.0,()343faf()(0,1)343153()0,3,(0),(1)34444afafxaxafaffaa①若即在（0,1）无零点；②若()=0,