1.1直角三角形的判定和性质(1)

§1.1AB┏C回顾1.直角三角形的定义：BCA有一个角是直角的三角形叫直角三角形。2.三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180°三角形顶点与对边中点的连线段。3.三角形中线的定义：探索直角三角形的判定和性质说一说：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和∠A+∠B=______.为什么？90°CBA性质定理：直角三角形的两个锐角互余。在△ABC中，如果∠A+∠B=90°那么△ABC是直角三角形吗？（是）CAB,,ABC由三角形的内角和性质得：A+B+C=180又A+B=90，C=90是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。证明：直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？1.在△ABC中，∠A=35°,∠B=55°，则此三角形为＿＿＿三角形。练习一直角ABHCD2.如图，AB∥CD中，∠BAC和∠DCA的角平分线相交于H点。那么△AHC是直角三角形吗？为什么？解AB,CD180.BACDCA1,2CAHBAC又1,2ACHDCA1(),2CAHACHBACDCA118090.2AHC是直角三角形。任意画一个直角三角形△ABC，∠C=90°,作出斜边AB边上的中线CD，并利用圆规或者直尺比较中线与斜边的一半的长短．CD=＿＿AD=＿＿BD=＿＿AB=＿＿。ＢＡＣＤ探究直角三角形性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1AB2CD由此猜想：你发现了什么？动手动脑让我们一起来证明这个猜想吧！ＢＡＣ，，，，过C点作射线CD交AB于D，使1=A，则ADCD（等边对等角）.9012902.ABB（直角三角形两锐角互余），（直角的定义），,1.2AB，，，，，BD=AD即D是斜边AB的中点，CD是斜边AB的中线，从而CD与CD重合，CD=直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形的性质定理：证明：又∵，D12练习二41、已知一个直角三角形的斜边长为8，则斜边上的中线长为＿＿。2、如图,在Rt⊿ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠B=70°,则∠BCD=＿＿,∠A=＿＿,∠ACD=＿＿,∠ADC=＿＿.ＢＡＣＤＡＢＥＣ20°70°140°3、如图所示：它是人字屋架设计图，其中ＡＢ＝ＡＣ＝５米，ＡＥ⊥ＢＣ，Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＥ=＿＿＿。D20°2.5m练习一ABHD2.如图，AB∥CD中，∠BAC和∠DCA的角平分线相交于H点。那么△AHC是直角三角形吗？为什么？C解AB,CD180.BACDCA1,2CAHBAC又1,2ACHDCA1(),2CAHACHBACDCA118090.2AHC是直角三角形。E若E为AC的中点，EH=2，则AC＿＿。练习二43.如图,∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，Ｅ是ＡＣ的中点，判断BE与DE的大小关系？并说明理由．ＡＤＣＢＥ例1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB.12直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。反过来，一个三角形中，若一边上的中线等于这条边的一半，它是直角三角形吗？ADBC12如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。解：∵CD是中线，CD=AB，∴AD=CD，CD=BD∴∠A=∠1，∠B=∠2∵∠A+∠1+∠B+∠2=180°∴∠A+∠B=∠1+∠2=90°∴△ABC是直角三角形。12求证：△ABC是直角三角形.直角三角形的判定定理：1、△ABC中，点D是AB的中点，连结CD，测得CD=5cm，AB=10cm，则△ABC是＿＿＿三角形.直角练习三2、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，连接AC，E为AC中点，且BE=DE.求证：∠ADC=90°ＡＤＣＢＥ•直角三角形的性质１．直角三角形的两个锐角互余．2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．•直角三角形的判定１．有两个角互余的三角形是直角三角形．2．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如图是一副三角板拼成的四边形ABDC，E为AD的中点。点E与点B，C的距离相等吗？请说明理由。ADEC连结BC，取BC的中点F,你能知道BC与EF的位置关系吗？F如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD,E为AD的中点。EB与EC相等吗？请说明理由。ECBDAF如图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C,E为AD的中点，点F是BC的中点,EF垂直BC吗？请说明理由。G复习引入1.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的。2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是三角形。直角一半抢答：探究在Rt⊿ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？分析：1.辅助线的常用作法有：30°BCA作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线，作相等的角等等。2。你打算怎样作辅助线？动脑筋1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为Rt⊿ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等的线段？30BCAD2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？3.⊿CBD是什么三角形?CD=BD=AD∠B=60°等边三角形现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推理过程吗？.21,,60,30,21,90.,ABCDBDBCDCBBAABBDADCDABCDACBCDDAB所以是等边三角形故所以又所以边上的中线是斜边，因为连接的中点证明：取线段30BCAD得出结论在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形性质定理：问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？30BCAD（直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半）如图，在Rt⊿ABC中，∠BCA=900,如果BC=AB，那么∠A等于多少？12BCAD探究取AB的中点D,连接CD.∵CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，∴BC=BD=CD,即△ABC为等边三角形.∴∠B=600∵∠A+∠B=900，∴∠A=300∴CD=AB=BD,12∵BC=AB12直角三角形性质定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线。点到线的距离，什么最短？OBDA北东60°303例2：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图所示。该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？303例2、在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60º的方向，且与轮船相距海里，如图所示，该船保持航向不变，有触礁的危险吗？解：航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，就没有触礁的危险.过A作AD⊥OB，垂足为D.330DAOB东西60º330解：航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，就没有触礁的危险.过A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO.在Rt△AOD中，AO=海里，∠AOD=30º.于是，DAOB东西60º330330133021AO2AD×≈25.98＞20所以，没有触礁危险.3、如图3:∠BAC＝90°,∠C＝30°,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.且BE＝1.求：BC和DC的长..30,CADDBCABAD且于点交1、如图1:在△ABC中，AB＝AC，求证：BD=2CD.图1ADCB思考与拓展2、如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E，求证：FC=2BF.图2AFCEB